微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ 写为等式。

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

解题步骤 3.2

化简 $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ 。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{y + 1}$ 。

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

解题步骤 3.2.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

解题步骤 3.2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

解题步骤 3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

解题步骤 3.2.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

解题步骤 3.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1

约去公因数。

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

解题步骤 3.4.1.2

重写表达式。

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

解题步骤 3.5

在等式两边都加上 $4$ 。

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

解题步骤 3.6

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

解题步骤 3.7

展开左边。

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解题步骤 3.7.1

通过将 $y + 1$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y + 1})$ 。

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

解题步骤 3.7.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

解题步骤 3.7.3

将 $y + 1$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

解题步骤 3.8

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x + 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

解题步骤 5.2.3.1.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

解题步骤 5.2.3.1.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

解题步骤 5.2.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

解题步骤 5.2.3.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

解题步骤 5.2.3.1.6.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

解题步骤 5.2.3.2

合并 $e^{x + 1} - 4 + 4$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 $e^{x + 1}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

解题步骤 5.2.3.3

使用对数规则把 $x + 1$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

解题步骤 5.2.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

解题步骤 5.2.3.5

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

解题步骤 5.2.4

合并 $x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ 。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

解题步骤 5.3.3

合并 $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\ln (2 x + 4)$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

解题步骤 5.3.4.2

运用分配律。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

解题步骤 5.3.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

解题步骤 5.3.4.3.2

约去公因数。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

解题步骤 5.3.4.3.3

重写表达式。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

解题步骤 5.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

解题步骤 5.3.4.4.2

约去公因数。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

解题步骤 5.3.4.4.3

重写表达式。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

解题步骤 5.3.5

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ 为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

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