微积分学示例

$f (x) = \cot (- x) + \sec (π x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\cot (- x) + \sec (π x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\cot (- x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

解题步骤 2.1.2

$\cot (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{1})$ 。

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \csc^{2} (- x) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \csc^{2} (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \csc^{2} (- x) (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \csc^{2} (- x) \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

解题步骤 2.6

将 $\csc^{2} (- x)$ 乘以 $1$ 。

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $π x$ 。

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 3.1.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$\csc^{2} (- x) + \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 3.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \cdot 1)$

解题步骤 3.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) π$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (- x)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\csc (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\csc (- x)$ 重写成 $- \csc (x)$ 。

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- \csc (x))}^{2}$

解题步骤 4.2.2

对 $- \csc (x)$ 运用乘积法则。

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- 1)}^{2} \csc^{2} (x)$

解题步骤 4.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$π \sec (π x) \tan (π x) + 1 \csc^{2} (x)$

解题步骤 4.2.4

将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (x)$

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