微积分学示例

$f (x) = \ln (\frac{x^{5} - 12}{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x^{5} - 12}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x^{5} - 12}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x^{5} - 12}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{5} - 12}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x^{5} - 12}{x}$ 。

$1 \frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

解题步骤 3

将 $\frac{x}{x^{5} - 12}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{5} - 12$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{5} - 12] - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $x^{5} - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.3

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $5 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 (x^{1} x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{1 + 4} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{x}{x^{5} - 12}$ 乘以 $\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$ 。

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{(x^{5} - 12) x^{2}}$

解题步骤 11

约去公因数。

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解题步骤 11.1

从 $(x^{5} - 12) x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

解题步骤 11.2

约去公因数。

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

解题步骤 11.3

重写表达式。

$\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{(x^{5} - 12) x}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{(x^{5} - 12) x}$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{x^{5} x - 12 x}$

解题步骤 12.3

化简分子。

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解题步骤 12.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{5 x^{5} - x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

解题步骤 12.3.2

从 $5 x^{5}$ 中减去 $x^{5}$ 。

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

解题步骤 12.4

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 12.4.1

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 12.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x^{1} - 12 x}$

解题步骤 12.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5 + 1} - 12 x}$

解题步骤 12.4.2

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{6} - 12 x}$

解题步骤 12.5

从 $4 x^{5} + 12$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 12.5.1

从 $4 x^{5}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{5}) + 12}{x^{6} - 12 x}$

解题步骤 12.5.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot 3}{x^{6} - 12 x}$

解题步骤 12.5.3

从 $4 x^{5} + 4 \cdot 3$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x^{6} - 12 x}$

解题步骤 12.6

从 $x^{6} - 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 12.6.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} - 12 x}$

解题步骤 12.6.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} + x \cdot - 12}$

解题步骤 12.6.3

从 $x \cdot x^{5} + x \cdot - 12$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x (x^{5} - 12)}$

微积分学 示例

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