微积分学示例

$y = \sqrt[5]{x^{4}} + x^{4 e}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sqrt[5]{x^{4}} + x^{4 e}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{4}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x^{4}}$ 重写成 $x^{\frac{4}{5}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{5}$ 。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

解题步骤 2.6.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4 e$ 。

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}} + 4 e x^{4 e - 1}$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + 4 e x^{4 e - 1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

合并项。

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{4}{5}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 e x^{4 e - 1}$

解题步骤 5.1.2

要将 $4 e x^{4 e - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 e x^{4 e - 1} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.3

组合 $4 e x^{4 e - 1}$ 和 $\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{4 e x^{4 e - 1} (5 x^{\frac{1}{5}})}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 + 4 e x^{4 e - 1} (5 x^{\frac{1}{5}})}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.5

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e - 1} x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.6

通过指数相加将 $x^{4 e - 1}$ 乘以 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

移动 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$\frac{4 + 20 e (x^{\frac{1}{5}} x^{4 e - 1})}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 + 20 e x^{\frac{1}{5} + 4 e - 1}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.6.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.6.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.6.5

在公分母上合并分子。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.6.6

化简分子。

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解题步骤 5.1.6.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1 - 5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.6.6.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{- 4}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.6.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e - \frac{4}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{20 e x^{4 e - \frac{4}{5}} + 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

微积分学 示例

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