微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

解题步骤 1

相乘以使分子有理化。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL（先外后内）展开分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

解题步骤 2.2.2

将 $- 5 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

从 $x^{4} - 5 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

解题步骤 3.1.1.2

从 $- 5 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

解题步骤 3.1.1.3

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

解题步骤 3.1.2

从根式下提出各项。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

解题步骤 3.2

因为项 $- 5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

解题步骤 4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

解题步骤 5.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

解题步骤 5.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

解题步骤 5.5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

约去 $x$ 的公因数。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.2.1.2

重写表达式。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.2.2

将负号移到分数的前面。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.4

将极限移入根号内。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.7

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 9.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

解题步骤 9.3

化简答案。

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解题步骤 9.3.1

用 $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ 除以 $1$ 。

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

解题步骤 9.3.2

化简分母。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

解题步骤 9.3.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

解题步骤 9.3.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

解题步骤 9.3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 5 (\frac{1}{2})$

解题步骤 9.3.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 5}{2}$

解题步骤 9.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{2}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{5}{2}$

小数形式：

$- 2.5$

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