微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 + \tan (x)}{\csc (x) + 2}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

解题步骤 3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{4}$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

解题步骤 4

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

解题步骤 6

因为余割函数是连续的，将极限符号移至三角函数内。

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

解题步骤 7

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{4}$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

解题步骤 8

将 $\frac{π}{4}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 + 1}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

解题步骤 9.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

解题步骤 9.2

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$

解题步骤 9.3

将 $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$

解题步骤 9.4

将 $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ 。

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2) (\sqrt{2} - 2)}$

解题步骤 9.5

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} - 4}$

解题步骤 9.6

化简。

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{- 2}$

解题步骤 9.7

移动 $\frac{\sqrt{2} - 2}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$

解题步骤 9.8

将 $- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$ 重写为 $- (\sqrt{2} - 2)$ 。

$- (\sqrt{2} - 2)$

解题步骤 9.9

运用分配律。

$- \sqrt{2} - - 2$

解题步骤 9.10

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- \sqrt{2} + 2$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \sqrt{2} + 2$

小数形式：

$0.58578643 \dots$

微积分学 示例

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