微积分学示例

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{x^{2}}{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $- \frac{x^{2}}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.1

组合 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

合并分数。

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解题步骤 3.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 。

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.3

组合 $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.2.2.4

用 $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 除以 $1$ 。

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$

解题步骤 9

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

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