微积分学示例

$f (x) = x^{10} e^{x} - 7$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{10} e^{x} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{10}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{10} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{10} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 10$ 。

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$ 和 $0$ 相加。

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$

解题步骤 4.3

将 $e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$ 中的因式重新排序。

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$

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