微积分学示例

$\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

解题步骤 1

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

组合 $\sqrt{y}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y}}{3} \cdot (y - 3)]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (y - 3)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ 且 $g (y) = y - 3$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} \frac{d}{d y} [y - 3] + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $y - 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (1 + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

解题步骤 3.3

因为 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (1 + 0) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

解题步骤 3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} \cdot 1 + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

解题步骤 3.5

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) (\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 10

将 $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{6}$

解题步骤 11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

要将 $(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 13

组合 $(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 14

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 15

组合 $3$ 和 $\frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3}{6 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 16

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 (1)}{6 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 17

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

从 $6 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 (1)}{3 (2 y^{\frac{1}{2}})}}{3}$

解题步骤 17.2

约去公因数。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 \cdot 1}{3 (2 y^{\frac{1}{2}})}}{3}$

解题步骤 17.3

重写表达式。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1

运用分配律。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + y \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.1.1

组合 $y$ 和 $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.1.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.1.3

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.1.3.1

将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.1.3.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.1.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.1.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.1.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.2

要将 $y^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.3

组合 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.5

将 $y^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 和 $y^{\frac{1}{2}}$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.5.1

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{\frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.2.5.2

将 $2 \cdot y^{\frac{1}{2}}$ 和 $y^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{\frac{3 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

$\frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.3.1

将 $\frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

解题步骤 18.3.2

合并。

$\frac{2 (\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.3

运用分配律。

$\frac{2 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.4.2

重写表达式。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.7

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.8

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.9

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.3.9.1

从 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (y^{\frac{1}{2}})}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.9.2

约去公因数。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.9.3

重写表达式。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.11

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{6}$

解题步骤 18.3.12

从 $3 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}}) - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{6}$

解题步骤 18.3.13

从 $- \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}}) + 3 (- \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{6}$

解题步骤 18.3.14

从 $3 (y^{\frac{1}{2}}) + 3 (- \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{6}$

解题步骤 18.3.15

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.3.15.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{3 (2)}$

解题步骤 18.3.15.2

约去公因数。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{3 \cdot 2}$

解题步骤 18.3.15.3

重写表达式。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

解题步骤 18.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.4.1

要将 $y^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

解题步骤 18.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

解题步骤 18.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.4.3.1

通过指数相加将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.4.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

解题步骤 18.4.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{y^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

解题步骤 18.4.3.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{y^{\frac{2}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

解题步骤 18.4.3.1.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{y^{1} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

解题步骤 18.4.3.2

化简 $y^{1}$ 。

$\frac{\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

解题步骤 18.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 18.6

将 $\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 18.7

将 $2$ 移到 $y^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{y - 1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例