微积分学示例

$x \sqrt{9 - x}$

解题步骤 1

将 $x \sqrt{9 - x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \sqrt{9 - x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 - x}$ 重写成 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 9 - x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 - x$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.3

使用 $9 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.6

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.7

化简分子。

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解题步骤 2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.8

合并分数。

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解题步骤 2.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.9

根据加法法则， $9 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.10

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.14

合并分数。

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解题步骤 2.1.14.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.14.2

组合 $\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.14.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.14.3.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.14.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{- x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.14.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 2.1.16

将 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.1.17

要将 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.18

组合 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.19

在公分母上合并分子。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.20

通过指数相加将 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.20.1

移动 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.20.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.20.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.20.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.21

化简 ${(9 - x)}^{1} \cdot 2$ 。

$\frac{- x + (9 - x) \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.22

将 $2$ 移到 $9 - x$ 的左侧。

$\frac{- x + 2 \cdot (9 - x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23

化简。

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解题步骤 2.1.23.1

运用分配律。

$\frac{- x + 2 \cdot 9 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.23.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.23.2.1.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- x + 18 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- x + 18 - 2 x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.2.2

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 3 x + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.3

从 $- 3 x + 18$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.1.23.3.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x) + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.3.2

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x) + 3 (6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.3.3

从 $3 (- x) + 3 (6)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x) + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.5

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$\frac{3 (- (x) - 1 (- 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.6

从 $- (x) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.7

将 $- (x - 6)$ 重写为 $- 1 (x - 6)$ 。

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.23.8

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 6$ 且 $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

将 ${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1

约去公因数。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3.2.2

重写表达式。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{1}}$

解题步骤 2.2.4

化简。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

解题步骤 2.2.5

求微分。

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解题步骤 2.2.5.1

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

解题步骤 2.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

解题步骤 2.2.5.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

解题步骤 2.2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

解题步骤 2.2.5.4.2

将 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

解题步骤 2.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 9 - x$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $9 - x$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.6.3

使用 $9 - x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.9

在公分母上合并分子。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.10

化简分子。

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解题步骤 2.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.11

合并分数。

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解题步骤 2.2.11.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.12

根据加法法则， $9 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

解题步骤 2.2.13

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

解题步骤 2.2.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x])}{9 - x}$

解题步骤 2.2.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

解题步骤 2.2.16

乘。

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解题步骤 2.2.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

解题步骤 2.2.16.2

将 $x - 6$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

解题步骤 2.2.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{9 - x}$

解题步骤 2.2.18

合并分数。

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解题步骤 2.2.18.1

将 $x - 6$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$

解题步骤 2.2.18.2

将 $\frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$- \frac{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 3}{(9 - x) \cdot 2}$

解题步骤 2.2.18.3

重新排序。

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解题步骤 2.2.18.3.1

将 $3$ 移到 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 的左侧。

$- \frac{3 \cdot ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(9 - x) \cdot 2}$

解题步骤 2.2.18.3.2

将 $2$ 移到 $9 - x$ 的左侧。

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (9 - x)}$

解题步骤 2.2.19

化简。

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解题步骤 2.2.19.1

运用分配律。

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (9 - x)}$

解题步骤 2.2.19.2

运用分配律。

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.19.3.1

从 $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.2.19.3.1.1

从 $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.1.2

从 $3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.1.3

从 $3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.2

使 $u_{2} = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.19.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.2.2

通过指数相加将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

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解题步骤 2.2.19.3.2.2.1

移动 $u_{2}$ 。

$- \frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.2.2.2

将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

$- \frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.3

使用 ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{3 \frac{2 {({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.4

化简。

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解题步骤 2.2.19.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.19.3.4.1.1

将 ${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.19.3.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.19.3.4.1.1.2.1

约去公因数。

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.4.1.1.2.2

重写表达式。

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{1} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.4.1.2

化简。

$- \frac{3 \frac{2 (9 - x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.4.1.3

运用分配律。

$- \frac{3 \frac{2 \cdot 9 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.4.1.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{3 \frac{18 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 \frac{18 - 2 x + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.4.2

从 $18$ 中减去 $6$ 。

$- \frac{3 \frac{- 2 x + x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.3.4.3

将 $- 2 x$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{3 \frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.4

合并项。

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解题步骤 2.2.19.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.4.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.2.19.4.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$

解题步骤 2.2.19.4.4

将 $\frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 - 2 x})$

解题步骤 2.2.19.4.5

将 $\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{18 - 2 x}$ 。

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (18 - 2 x)}$

解题步骤 2.2.19.5

化简分母。

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解题步骤 2.2.19.5.1

从 $18 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.2.19.5.1.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) - 2 x)}$

解题步骤 2.2.19.5.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) + 2 (- x))}$

解题步骤 2.2.19.5.1.3

从 $2 (9) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9 - x))}$

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (9 - x)}$

解题步骤 2.2.19.5.2

合并指数。

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解题步骤 2.2.19.5.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (9 - x)}$

解题步骤 2.2.19.5.2.2

对 $9 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 ({(9 - x)}^{1} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.2.19.5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.5.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.5.2.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.5.2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{3 (- (x) + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.7

将 $12$ 重写为 $- 1 (- 12)$ 。

$- \frac{3 (- (x) - 1 (- 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.8

从 $- (x) - 1 (- 12)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{3 (- (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.9

将 $- (x - 12)$ 重写为 $- 1 (x - 12)$ 。

$- \frac{3 (- 1 (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.10

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.19.12

将 $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$3 (x - 12) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

将 $3 (x - 12) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $3 (x - 12) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 3.3.1.2.1.2

用 $x - 12$ 除以 $1$ 。

$x - 12 = \frac{0}{3}$

解题步骤 3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x - 12 = 0$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $12$ 。

$x = 12$

解题步骤 3.4

排除不能使 $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 4

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

微积分学 示例

微积分学示例