微积分学示例

$f (x) = e^{\log (\sin (3 x))}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \log (\sin (3 x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\log (\sin (3 x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\log (\sin (3 x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\log (\sin (3 x))} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = \sin (3 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (3 x)$ 。

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

解题步骤 2.2

$\log (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ 。

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)}$ 和 $e^{\log (\sin (3 x))}$ 。

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 4.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 4.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\cos (3 x)$ 和 $\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ 。

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.3

组合 $3$ 和 $\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ 。

$\frac{3 (\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))})}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \cdot 1$

解题步骤 5.5

将 $\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}$ 中的因式重新排序。

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cos (3 x)}{\sin (3 x) \ln (10)}$

解题步骤 6.2

分离分数。

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 转换成 $\cot (3 x)$ 。

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cot (3 x)$

解题步骤 6.4

组合 $\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)}$ 和 $\cot (3 x)$ 。

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cot (3 x)}{\ln (10)}$

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