微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - \sin (x)}{x^{3}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.1.1

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.5.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{3}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\tan (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \cos (x)}{3 x^{2}}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.6.1.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{2} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 3.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $\sec^{2} (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3.1.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3.3

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{2 x}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{x}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.4

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.5

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.6

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.8.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.9.1.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \cdot 1 \cdot \tan (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \cdot \tan (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.4.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.5

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.6

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.6.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.8

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.11

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.12

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5

化简。

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解题步骤 5.3.5.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (x) + 2 \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (x) + 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.3

重新排序项。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.5.4.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.6

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.7

合并。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.8

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.3.5.4.8.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.8.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.9

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.10

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.11

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.4.12

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{1}$

解题步骤 5.4

合并项。

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解题步骤 5.4.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x) + 2}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{1}$

解题步骤 5.4.2

要将 $\cos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x) + 2}{\cos^{4} (x)} + \frac{\cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{1}$

解题步骤 5.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x) + 2 + \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{1}$

解题步骤 5.5

用 $\frac{4 \sin^{2} (x) + 2 + \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \sin^{2} (x) + 2 + \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (x) + 2 + \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.4

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.8

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.9

使用极限幂法则把 $\cos^{4} (x)$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.10

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

解题步骤 6.11

使用极限幂法则把 $\cos^{4} (x)$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{4}}$

解题步骤 6.12

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4 \cdot 0^{2} + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4 \cdot 0 + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2.4

通过指数相加将 $\cos (0)$ 乘以 $\cos^{4} (0)$ 。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $\cos (0)$ 乘以 $\cos^{4} (0)$ 。

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解题步骤 8.2.4.1.1

对 $\cos (0)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + \cos^{1} (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + {\cos (0)}^{1 + 4}}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2.4.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + \cos^{5} (0)}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + 1^{5}}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + 1}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2.7

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 1}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.2.8

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 8.3

化简分母。

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解题步骤 8.3.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1^{4}}$

解题步骤 8.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1}$

解题步骤 8.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 3$

解题步骤 8.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3 (2)} \cdot 3$

解题步骤 8.5.2

约去公因数。

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot 3$

解题步骤 8.5.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

微积分学 示例

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