微积分学示例

$f (x) = \arctan (3 x^{2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 3 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $3 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(3 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{1 + {(3 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

对 $3 (x^{2})$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{1 + 9 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + 9 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{1 + 9 x^{4}}$ 。

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} (2 x)$

解题步骤 2.6

合并分数。

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解题步骤 2.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{3}{1 + 9 x^{4}}$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{1 + 9 x^{4}} x$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6}{1 + 9 x^{4}} x$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{6}{1 + 9 x^{4}}$ 和 $x$ 。

$\frac{6 x}{1 + 9 x^{4}}$

解题步骤 2.6.4

重新排序项。

$\frac{6 x}{9 x^{4} + 1}$

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