微积分学示例

$P (x) = (- \frac{1}{2} x^{2} + 900 x) - (5400 + 500 x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $(- \frac{1}{2} x^{2} + 900 x) - (5400 + 500 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{- 2}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 2.6.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$- x + \frac{d}{d x} [900 x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [900 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $900$ 对于 $x$ 是常数，所以 $900 x$ 对 $x$ 的导数是 $900 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- x + 900 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- x + 900 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 3.3

将 $900$ 乘以 $1$ 。

$- x + 900 + \frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- (5400 + 500 x)]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (5400 + 500 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [5400 + 500 x]$ 。

$- x + 900 - \frac{d}{d x} [5400 + 500 x]$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $5400 + 500 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5400] + \frac{d}{d x} [500 x]$ 。

$- x + 900 - (\frac{d}{d x} [5400] + \frac{d}{d x} [500 x])$

解题步骤 4.3

因为 $5400$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5400$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- x + 900 - (0 + \frac{d}{d x} [500 x])$

解题步骤 4.4

因为 $500$ 对于 $x$ 是常数，所以 $500 x$ 对 $x$ 的导数是 $500 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- x + 900 - (0 + 500 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- x + 900 - (0 + 500 \cdot 1)$

解题步骤 4.6

将 $500$ 乘以 $1$ 。

$- x + 900 - (0 + 500)$

解题步骤 4.7

将 $0$ 和 $500$ 相加。

$- x + 900 - 1 \cdot 500$

解题步骤 4.8

将 $- 1$ 乘以 $500$ 。

$- x + 900 - 500$

解题步骤 5

从 $900$ 中减去 $500$ 。

$- x + 400$

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