微积分学示例

$h (y) = {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ 等于 $f' (g (b)) g' (b)$ ，其中 $f (b) = b^{3}$ 且 $g (b) = \frac{b}{a + y^{4}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{b}{a + y^{4}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{b}{a + y^{4}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{a + y^{4}}$ 对于 $b$ 是常数，所以 $\frac{b}{a + y^{4}}$ 对 $b$ 的导数是 $\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b]$ 。

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} (\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b])$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{a + y^{4}}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [b]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ 等于 $n b^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $\frac{3}{a + y^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{b}{a + y^{4}}$ 运用乘积法则。

$\frac{3}{a + y^{4}} \cdot \frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{3}{a + y^{4}}$ 乘以 $\frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$ 。

$\frac{3 b^{2}}{(a + y^{4}) {(a + y^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

通过指数相加将 $a + y^{4}$ 乘以 ${(a + y^{4})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $a + y^{4}$ 乘以 ${(a + y^{4})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $a + y^{4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1} {(a + y^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{3}}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$\frac{3 b^{2}}{{(y^{4} + a)}^{3}}$

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