微积分学示例

$G (y) = \ln (\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{\sqrt{y^{2} + 1}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{2} + 1}$ 重写成 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\ln (\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \ln (y)$ 且 $g (y) = \frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d y} [\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$1 \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4

将 $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = {(4 y + 1)}^{2}$ 且 $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(4 y + 1)}^{2}] - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6

将 ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

解题步骤 6.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

解题步骤 7

化简。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(4 y + 1)}^{2}] - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = 4 y + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 y + 1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [4 y + 1]) - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d y} [4 y + 1]) - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 8.3

使用 $4 y + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (4 y + 1) \frac{d}{d y} [4 y + 1]) - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $2$ 移到 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) \frac{d}{d y} [4 y + 1] - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.2

根据加法法则， $4 y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) (\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.3

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) (4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) (4 + \frac{d}{d y} [1]) - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.6

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) (4 + 0) - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.7

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.7.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) \cdot 4 - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.7.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = y^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $y^{2} + 1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 10.3

使用 $y^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 13

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 14

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 15

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 15.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 15.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} (\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 15.4

组合 $\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(4 y + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - \frac{{(4 y + 1)}^{2}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 16

根据加法法则， $y^{2} + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - \frac{{(4 y + 1)}^{2}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - \frac{{(4 y + 1)}^{2}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 18

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - \frac{{(4 y + 1)}^{2}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + 0)}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.1

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - \frac{{(4 y + 1)}^{2}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - 2 \frac{{(4 y + 1)}^{2}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{{(4 y + 1)}^{2}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) + \frac{- 2 {(4 y + 1)}^{2}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19.4

组合 $\frac{- 2 {(4 y + 1)}^{2}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) + \frac{- 2 {(4 y + 1)}^{2} y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19.5

从 $- 2 {(4 y + 1)}^{2} y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) + \frac{2 (- {(4 y + 1)}^{2} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 20

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.1

从 $2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) + \frac{2 (- {(4 y + 1)}^{2} y)}{2 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 20.2

约去公因数。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) + \frac{2 (- {(4 y + 1)}^{2} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 20.3

重写表达式。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) + \frac{- {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 21

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) - \frac{{(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 22

要将 $8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{\frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 23

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{\frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 y + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24

通过指数相加将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.1

移动 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{\frac{8 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{\frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{\frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{\frac{8 {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{\frac{8 {(y^{2} + 1)}^{1} (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 25

化简 $8 {(y^{2} + 1)}^{1} (4 y + 1)$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 26

将 $\frac{\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$ 重写为乘积形式。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} (\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y^{2} + 1})$

解题步骤 27

将 $\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 28

通过指数相加将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 28.1

将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 28.1.1

对 $y^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 28.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 28.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 28.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 28.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}} \cdot \frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29

将 $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 y + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y)}{{(4 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 30

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 31

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 31.1

通过指数相加将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 31.1.1

移动 ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} ({(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 31.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

解题步骤 31.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 31.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 31.2

化简 ${(4 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{1}$ 。

$\frac{8 (y^{2} + 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.1

运用分配律。

$\frac{(8 y^{2} + 8 \cdot 1) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(8 y^{2} + 8) (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(8 y^{2} + 8) (4 y + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{8 y^{2} (4 y + 1) + 8 (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{8 y^{2} (4 y) + 8 y^{2} \cdot 1 + 8 (4 y + 1) - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{8 y^{2} (4 y) + 8 y^{2} \cdot 1 + 8 (4 y) + 8 \cdot 1 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 \cdot 4 y^{2} y + 8 y^{2} \cdot 1 + 8 (4 y) + 8 \cdot 1 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.3.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{8 \cdot 4 (y \cdot y^{2}) + 8 y^{2} \cdot 1 + 8 (4 y) + 8 \cdot 1 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3.2.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.3.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 \cdot 4 (y^{1} y^{2}) + 8 y^{2} \cdot 1 + 8 (4 y) + 8 \cdot 1 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 \cdot 4 y^{1 + 2} + 8 y^{2} \cdot 1 + 8 (4 y) + 8 \cdot 1 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 \cdot 4 y^{3} + 8 y^{2} \cdot 1 + 8 (4 y) + 8 \cdot 1 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3.3

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} \cdot 1 + 8 (4 y) + 8 \cdot 1 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 8 (4 y) + 8 \cdot 1 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3.5

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 \cdot 1 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3.6

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - {(4 y + 1)}^{2} y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.4

将 ${(4 y + 1)}^{2}$ 重写为 $(4 y + 1) (4 y + 1)$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - ((4 y + 1) (4 y + 1)) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(4 y + 1) (4 y + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.5.1

运用分配律。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (4 y (4 y + 1) + 1 (4 y + 1)) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.5.2

运用分配律。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (4 y (4 y) + 4 y \cdot 1 + 1 (4 y + 1)) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.5.3

运用分配律。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (4 y (4 y) + 4 y \cdot 1 + 1 (4 y) + 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.6

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (4 \cdot 4 y \cdot y + 4 y \cdot 1 + 1 (4 y) + 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.6.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.6.1.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (4 \cdot 4 (y \cdot y) + 4 y \cdot 1 + 1 (4 y) + 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.6.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (4 \cdot 4 y^{2} + 4 y \cdot 1 + 1 (4 y) + 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.6.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (16 y^{2} + 4 y \cdot 1 + 1 (4 y) + 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.6.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (16 y^{2} + 4 y + 1 (4 y) + 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.6.1.5

将 $4 y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (16 y^{2} + 4 y + 4 y + 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.6.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (16 y^{2} + 4 y + 4 y + 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.6.2

将 $4 y$ 和 $4 y$ 相加。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - (16 y^{2} + 8 y + 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.7

运用分配律。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 + (- (16 y^{2}) - (8 y) - 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.8.1

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 + (- 16 y^{2} - (8 y) - 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.8.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 + (- 16 y^{2} - 8 y - 1 \cdot 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.8.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 + (- 16 y^{2} - 8 y - 1) y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.9

运用分配律。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - 16 y^{2} y - 8 y \cdot y - 1 y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.10.1

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.10.1.1

移动 $y$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - 16 (y \cdot y^{2}) - 8 y \cdot y - 1 y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.10.1.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.10.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - 16 (y^{1} y^{2}) - 8 y \cdot y - 1 y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - 16 y^{1 + 2} - 8 y \cdot y - 1 y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.10.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - 16 y^{3} - 8 y \cdot y - 1 y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.10.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.1.10.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - 16 y^{3} - 8 (y \cdot y) - 1 y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.10.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - 16 y^{3} - 8 y^{2} - 1 y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.10.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - 16 y^{3} - 8 y^{2} - y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.2

合并 $32 y^{3} + 8 y^{2} + 32 y + 8 - 16 y^{3} - 8 y^{2} - y$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 32.2.2.1

从 $8 y^{2}$ 中减去 $8 y^{2}$ 。

$\frac{32 y^{3} + 32 y + 8 - 16 y^{3} + 0 - y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.2.2

将 $32 y^{3} + 32 y + 8 - 16 y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{32 y^{3} + 32 y + 8 - 16 y^{3} - y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.3

从 $32 y^{3}$ 中减去 $16 y^{3}$ 。

$\frac{16 y^{3} + 32 y + 8 - y}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.4

从 $32 y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{16 y^{3} + 31 y + 8}{{(4 y + 1)}^{2} (y^{2} + 1)}$

微积分学 示例

微积分学示例