微积分学示例

$h (x) = 7 x^{2} (6 x + 9^{4})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

对 $9$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} (6 x + 6561)]$

解题步骤 1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2} (6 x + 6561)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2} (6 x + 6561)]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x^{2} (6 x + 6561)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 6 x + 6561$ 。

$7 (x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 6561] + (6 x + 6561) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 x + 6561$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [6561]$ 。

$7 (x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [6561]) + (6 x + 6561) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 (x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6561]) + (6 x + 6561) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 (x^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6561]) + (6 x + 6561) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$7 (x^{2} (6 + \frac{d}{d x} [6561]) + (6 x + 6561) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.5

因为 $6561$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6561$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 (x^{2} (6 + 0) + (6 x + 6561) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$7 (x^{2} \cdot 6 + (6 x + 6561) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.6.2

将 $6$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$7 (6 \cdot x^{2} + (6 x + 6561) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$7 (6 x^{2} + (6 x + 6561) (2 x))$

解题步骤 3.8

将 $2$ 移到 $6 x + 6561$ 的左侧。

$7 (6 x^{2} + 2 \cdot (6 x + 6561) x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$7 (6 x^{2} + (2 (6 x) + 2 \cdot 6561) x)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$7 (6 x^{2} + 2 (6 x) x + 2 \cdot 6561 x)$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$7 (6 x^{2}) + 7 (2 (6 x) x) + 7 (2 \cdot 6561 x)$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$42 x^{2} + 7 (2 (6 x) x) + 7 (2 \cdot 6561 x)$

解题步骤 4.4.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$42 x^{2} + 7 (12 x \cdot x) + 7 (2 \cdot 6561 x)$

解题步骤 4.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$42 x^{2} + 7 (12 (x^{1} x)) + 7 (2 \cdot 6561 x)$

解题步骤 4.4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$42 x^{2} + 7 (12 (x^{1} x^{1})) + 7 (2 \cdot 6561 x)$

解题步骤 4.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$42 x^{2} + 7 (12 x^{1 + 1}) + 7 (2 \cdot 6561 x)$

解题步骤 4.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$42 x^{2} + 7 (12 x^{2}) + 7 (2 \cdot 6561 x)$

解题步骤 4.4.7

将 $12$ 乘以 $7$ 。

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 7 (2 \cdot 6561 x)$

解题步骤 4.4.8

将 $2$ 乘以 $6561$ 。

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 7 (13122 x)$

解题步骤 4.4.9

将 $13122$ 乘以 $7$ 。

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 91854 x$

解题步骤 4.4.10

将 $42 x^{2}$ 和 $84 x^{2}$ 相加。

$126 x^{2} + 91854 x$

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