微积分学示例

$g (t) = \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = e^{2 t}$ 且 $g (t) = 1 + e^{2 t}$ 。

$\frac{(1 + e^{2 t}) \frac{d}{d t} [e^{2 t}] - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 t$ 。

$\frac{(1 + e^{2 t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \cdot 1) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 移到 $(1 + e^{2 t}) e^{2 t}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{2 t}) e^{2 t}) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $1 + e^{2 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ 。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (0 + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ 相加。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} \frac{d}{d t} [e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 t$ 。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t + 2 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 6

将 $2 t$ 和 $2 t$ 相加。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 7

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} (2 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \cdot 1}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 11.3

化简分子。

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解题步骤 11.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.2

通过指数相加将 $e^{2 t}$ 乘以 $e^{2 t}$ 。

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解题步骤 11.3.1.2.1

移动 $e^{2 t}$ 。

$\frac{2 e^{2 t} + 2 (e^{2 t} e^{2 t}) - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t + 2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.2.3

将 $2 t$ 和 $2 t$ 相加。

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 11.3.2

合并 $2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}$ 中相反的项。

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解题步骤 11.3.2.1

从 $2 e^{4 t}$ 中减去 $2 e^{4 t}$ 。

$\frac{2 e^{2 t} + 0}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

解题步骤 11.3.2.2

将 $2 e^{2 t}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 e^{2 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

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