微积分学示例

$g (r) = r^{2} \ln (2 r + 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 等于 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ，其中 $f (r) = r^{2}$ 且 $g (r) = \ln (2 r + 1)$ 。

$r^{2} \frac{d}{d r} [\ln (2 r + 1)] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = \ln (r)$ 且 $g (r) = 2 r + 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 r + 1$ 。

$r^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$r^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $2 r + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$r^{2} (\frac{1}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2 r + 1}$ 和 $r^{2}$ 。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2 r + 1$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]$ 。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $r$ 是常数，所以 $2 r$ 对 $r$ 的导数是 $2 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3.6

因为 $1$ 对于 $r$ 是常数，所以 $1$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + 0) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \cdot 2 + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3.7.2

组合 $\frac{r^{2}}{2 r + 1}$ 和 $2$ 。

$\frac{r^{2} \cdot 2}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3.7.3

将 $2$ 移到 $r^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) (2 r)$

解题步骤 4

要将 $\ln (2 r + 1) (2 r)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 r + 1}{2 r + 1}$ 。

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \frac{\ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 r^{2} + \ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln (2 r + 1) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

解题步骤 6.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (2 r + 1)$ 。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r) + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

解题步骤 6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

解题步骤 6.1.5

将 $\ln ({(2 r + 1)}^{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

解题步骤 6.1.6

化简每一项。

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解题步骤 6.1.6.1

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 6.1.6.1.1

移动 $r$ 。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) (r \cdot r) + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

解题步骤 6.1.6.1.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

解题步骤 6.1.6.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ 。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({({(2 r + 1)}^{2})}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

解题步骤 6.1.6.3

将 ${({(2 r + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.6.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2 \cdot 2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

解题步骤 6.1.6.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

解题步骤 6.2

将 $2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 r^{2} + r^{2} \ln ({(2 r + 1)}^{4}) + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

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