微积分学示例

$g (t) = t^{2} \ln (e^{2 t} + 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \ln (e^{2 t} + 1)$ 。

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (e^{2 t} + 1)] + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = e^{2 t} + 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{2 t} + 1$ 。

$t^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$t^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $e^{2 t} + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$t^{2} (\frac{1}{e^{2 t} + 1} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3

使用求加法法则求导。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{e^{2 t} + 1}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1] + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $e^{2 t} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 t$ 。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 t}$ 的左侧。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 e^{2 t} + 0) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.5

合并分数。

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解题步骤 5.5.1

将 $2 e^{2 t}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 e^{2 t}) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1}$ 。

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 1} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.5.3

组合 $\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 1}$ 和 $e^{2 t}$ 。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \ln (e^{2 t} + 1) (2 t)$

解题步骤 6

要将 $\ln (e^{2 t} + 1) (2 t)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{2 t} + 1}{e^{2 t} + 1}$ 。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \frac{\ln (e^{2 t} + 1) (2 t) (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 1) (2 t) (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + 2 \ln (e^{2 t} + 1) t (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

解题步骤 8.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (e^{2 t} + 1)$ 。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

解题步骤 8.1.1.3

运用分配律。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t \cdot 1}{e^{2 t} + 1}$

解题步骤 8.1.1.4

将 $\ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

解题步骤 8.1.2

将 $2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

解题步骤 8.2

重新排序项。

$\frac{2 e^{2 t} t^{2} + e^{2 t} t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

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