微积分学示例

$g (x) = (x^{4} - 16) (x^{2} - 4)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4} - 16$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{4} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

解题步骤 2.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{4} - 16) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{4} - 16) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $x^{4} - 16$ 的左侧。

$2 \cdot (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

解题步骤 2.7

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3})$

解题步骤 2.8.2

将 $4$ 移到 $x^{2} - 4$ 的左侧。

$2 (x^{4} - 16) x + 4 \cdot (x^{2} - 4) x^{3}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(2 x^{4} + 2 \cdot - 16) x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + (4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x^{3}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

解题步骤 3.5

合并项。

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解题步骤 3.5.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

解题步骤 3.5.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$2 x^{5} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

解题步骤 3.5.4

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

解题步骤 3.5.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.5.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 x^{5} - 32 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x^{3}$

解题步骤 3.5.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{3 + 2} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

解题步骤 3.5.5.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

解题步骤 3.5.6

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} - 16 x^{3}$

解题步骤 3.5.7

将 $2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$6 x^{5} - 32 x - 16 x^{3}$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$6 x^{5} - 16 x^{3} - 32 x$

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