微积分学示例

$g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{5}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{5} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{5} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{x^{6} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4

将 $2$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x^{6} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{2 x^{6} - (x^{2} + 1) (5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 6.2

从 $2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $2 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 6.2.2

从 $- 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

解题步骤 6.2.3

从 $x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

解题步骤 7

约去公因数。

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解题步骤 7.1

从 $x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1)}{x^{6}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot 1}{x^{6}}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5}{x^{6}}$

解题步骤 8.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $5 x^{2}$ 。

$\frac{- 3 x^{2} - 5}{x^{6}}$

解题步骤 8.3

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 x^{2}) - 5}{x^{6}}$

解题步骤 8.4

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{- (3 x^{2}) - 1 (5)}{x^{6}}$

解题步骤 8.5

从 $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

解题步骤 8.6

将 $- (3 x^{2} + 5)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} + 5)$ 。

$\frac{- 1 (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

解题步骤 8.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 x^{2} + 5}{x^{6}}$

微积分学 示例

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