微积分学示例

$g (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(x - 5) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 移到 $x - 5$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.9.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{(2 x - 10) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 10) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x (x - 1) - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.1.3

将 $- 10$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $10 x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.4

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.5.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.5.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.7

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.8

化简。

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解题步骤 4.2.1.8.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 12 x + 10 + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $- 12 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x^{2} - 10 x + 10 - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 10 x + 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $9$ ，和为 $- 10$ 。

$- 9, - 1$

解题步骤 4.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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