微积分学示例

$g (x) = \sqrt{1 - 289 x^{2}} \arccos (17 x)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - 289 x^{2}}$ 重写成 ${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \arccos (17 x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \arccos (17 x)$ 。

${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arccos (17 x)] + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = 17 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $17 x$ 。

${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [17 x]) + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

$\arccos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [17 x]) + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用 $17 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(17 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [17 x]) + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

从 $17 x$ 中分解出因数 $17$ 。

${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(17 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [17 x]) + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $17 (x)$ 运用乘积法则。

${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - (17^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [17 x]) + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.1.2

对 $17$ 进行 $2$ 次方运算。

${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - (289 x^{2})}} \frac{d}{d x} [17 x]) + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.1.3

将 $289$ 乘以 $- 1$ 。

${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} \frac{d}{d x} [17 x]) + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

组合 ${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$ 。

$- \frac{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} \frac{d}{d x} [17 x] + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3

因为 $17$ 对于 $x$ 是常数，所以 $17 x$ 对 $x$ 的导数是 $17 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} (17 \frac{d}{d x} [x]) + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4

合并分数。

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解题步骤 4.4.1

将 $17$ 乘以 $- 1$ 。

$- 17 \frac{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4.2

组合 $- 17$ 和 $\frac{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$ 。

$\frac{- 17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} \cdot 1 + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - 289 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - 289 x^{2}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 5.3

使用 $1 - 289 x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{1}{2} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{1}{2} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{1}{2} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{1}{2} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{1}{2} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{1}{2} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{1}{2} {(1 - 289 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - 289 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{{(1 - 289 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - 289 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \arccos (17 x) (\frac{1}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}])$

解题步骤 10.4

组合 $\frac{1}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\arccos (17 x)$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{\arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 289 x^{2}]$

解题步骤 11

根据加法法则， $1 - 289 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 289 x^{2}]$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{\arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 289 x^{2}])$

解题步骤 12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{\arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 289 x^{2}])$

解题步骤 13

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 289 x^{2}]$ 相加。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{\arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 289 x^{2}]$

解题步骤 14

因为 $- 289$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 289 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 289 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{\arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 289 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 15

合并分数。

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解题步骤 15.1

组合 $- 289$ 和 $\frac{\arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{- 289 \arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 15.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} - \frac{289 \arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} - \frac{289 \arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 17

化简项。

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解题步骤 17.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} - 2 \frac{289 \arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 17.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{289 \arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{- 2 (289 \arccos (17 x))}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 17.3

将 $289$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{- 578 \arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 17.4

组合 $\frac{- 578 \arccos (17 x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{- 578 \arccos (17 x) x}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.5

从 $- 578 \arccos (17 x) x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{2 (- 289 \arccos (17 x) x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18

约去公因数。

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解题步骤 18.1

从 $2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{2 (- 289 \arccos (17 x) x)}{2 ({(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 18.2

约去公因数。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{2 (- 289 \arccos (17 x) x)}{2 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.3

重写表达式。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} + \frac{- 289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19

将负号移到分数的前面。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} - \frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20

要将 $- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21

要将 $- \frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$ 。

解题步骤 22

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sqrt{1 - 289 x^{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 22.1

将 $\frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$ 乘以 $\frac{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$

解题步骤 22.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - 289 x^{2}}$ 重写成 ${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$

解题步骤 22.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$

解题步骤 22.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$

解题步骤 22.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$

解题步骤 22.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.6.1

约去公因数。

解题步骤 22.6.2

重写表达式。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}} - \frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$

解题步骤 22.7

将 $\frac{289 \arccos (17 x) x}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}{\sqrt{1 - 289 x^{2}}}$ 。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}} - \frac{289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 289 x^{2}}}$

解题步骤 22.8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - 289 x^{2}}$ 重写成 ${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

解题步骤 22.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}} - \frac{289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.10

在公分母上合并分子。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}} - \frac{289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

解题步骤 22.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}} - \frac{289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 22.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.12.1

约去公因数。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}} - \frac{289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 22.12.2

重写表达式。

$- \frac{17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}} - \frac{289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}}$

解题步骤 23

在公分母上合并分子。

$\frac{- 17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}}$

解题步骤 24

通过指数相加将 ${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 24.1

移动 ${(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 17 ({(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}}$

解题步骤 24.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}}$

解题步骤 24.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}}$

解题步骤 24.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 17 {(1 - 289 x^{2})}^{\frac{2}{2}} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}}$

解题步骤 24.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 17 {(1 - 289 x^{2})}^{1} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}}$

解题步骤 25

化简 $- 17 {(1 - 289 x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{- 17 (1 - 289 x^{2}) - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{{(1 - 289 x^{2})}^{1}}$

解题步骤 26

化简。

$\frac{- 17 (1 - 289 x^{2}) - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{1 - 289 x^{2}}$

解题步骤 27

化简。

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解题步骤 27.1

运用分配律。

$\frac{- 17 \cdot 1 - 17 (- 289 x^{2}) - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{1 - 289 x^{2}}$

解题步骤 27.2

化简分子。

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解题步骤 27.2.1

化简每一项。

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解题步骤 27.2.1.1

将 $- 17$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 17 - 17 (- 289 x^{2}) - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{1 - 289 x^{2}}$

解题步骤 27.2.1.2

将 $- 289$ 乘以 $- 17$ 。

$\frac{- 17 + 4913 x^{2} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1 - 289 x^{2}}}{1 - 289 x^{2}}$

解题步骤 27.2.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{- 17 + 4913 x^{2} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1^{2} - 289 x^{2}}}{1 - 289 x^{2}}$

解题步骤 27.2.1.4

将 $289 x^{2}$ 重写为 ${(17 x)}^{2}$ 。

$\frac{- 17 + 4913 x^{2} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{1^{2} - {(17 x)}^{2}}}{1 - 289 x^{2}}$

解题步骤 27.2.1.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 17 x$ 。

$\frac{- 17 + 4913 x^{2} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{(1 + 17 x) (1 - (17 x))}}{1 - 289 x^{2}}$

解题步骤 27.2.1.6

将 $17$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 17 + 4913 x^{2} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{(1 + 17 x) (1 - 17 x)}}{1 - 289 x^{2}}$

解题步骤 27.2.2

将 $- 17 + 4913 x^{2} - 289 \arccos (17 x) x \sqrt{(1 + 17 x) (1 - 17 x)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{- 17 + 4913 x^{2} - 289 x \arccos (17 x) \sqrt{(1 + 17 x) (1 - 17 x)}}{1 - 289 x^{2}}$

解题步骤 27.3

重新排序项。

$\frac{4913 x^{2} - 289 x \sqrt{(1 + 17 x) (1 - 17 x)} \arccos (17 x) - 17}{- 289 x^{2} + 1}$

微积分学 示例

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