微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 在 $t$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $t^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

解题步骤 4.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- 2}$ 移动到分母。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

解题步骤 4.2.3

一的任意次幂都为一。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.2.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

解题步骤 5.1.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{t^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3

计算极限值。

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解题步骤 5.3.1

计算 $\frac{1}{2}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.2

化简答案。

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解题步骤 5.3.2.1

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{2}$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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