微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 1}}{x^{3} - 1}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(x^{2})}^{2} - 1}}{x^{3} - 1}$

解题步骤 1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}}{x^{3} - 1}$

解题步骤 1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}}{x^{3} - 1}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}}{x^{3} - 1}$

解题步骤 1.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}}{x^{3} - 1}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $- \sqrt{x^{6}} = x^{3}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{6}}}}{1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 3.3

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 3.4

将极限移入根号内。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.2

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.3

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.4

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x^{2} x + x^{2} \cdot 1) (x - 1) + (1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.5

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x (x - 1) + x^{2} \cdot 1 (x - 1) + (1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.6

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x + x^{2} x \cdot - 1 + x^{2} \cdot 1 (x - 1) + (1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.7

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x + x^{2} x \cdot - 1 + x^{2} \cdot 1 x + x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + (1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.8

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x + x^{2} x \cdot - 1 + x^{2} \cdot 1 x + x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 x (x - 1) + 1 \cdot 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.9

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x + x^{2} x \cdot - 1 + x^{2} \cdot 1 x + x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 x \cdot x + 1 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.10

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x + x^{2} x \cdot - 1 + x^{2} \cdot 1 x + x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 x \cdot x + 1 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.11.1

移动 $x$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x + x^{2} \cdot - 1 x + x^{2} \cdot 1 x + x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 x \cdot x + 1 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.11.2

将 $x^{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x - 1 \cdot x^{2} x + x^{2} \cdot 1 x + x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 x \cdot x + 1 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.11.3

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x - 1 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} x + x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 x \cdot x + 1 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.11.4

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x - 1 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} \cdot - 1 + 1 x \cdot x + 1 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.11.5

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x - 1 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.11.6

移动 $x$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x \cdot x - 1 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} x^{1} x - 1 x^{2} x + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2 + 1} x - 1 x^{2} x + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.14

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} x - 1 x^{2} x + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} x^{1} - 1 x^{2} x + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3 + 1} - 1 x^{2} x + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.17

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - 1 x^{2} x + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.18

提取负因数。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} x + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} x^{1} + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2 + 1} + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.21

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{3} + 1 x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.22

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{3} + x^{2} x + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.23

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{3} + x^{2} x^{1} + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{3} + x^{2 + 1} + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.25

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.25.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{3} + x^{3} + 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.25.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.26

将 $- x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} + 0 - x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.27

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.27.1

从 $0$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + 1 x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.27.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x \cdot x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.28

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{1} x + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.29

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{1} x^{1} + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.30

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{1 + 1} + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.1.2.31.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{2} + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.31.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + 1 \cdot 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31.2.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31.2.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31.2.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - x^{2} + x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31.5

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.31.6

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2.32

首项系数为正的偶次多项式在趋于负无穷时的极限是无穷大。

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{6}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.3

首项系数为正的偶次多项式在趋于负无穷时的极限是无穷大。

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{6}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = (x^{2} + 1) (x + 1)$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.7

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.8

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.9

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) ((x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) ((x^{2} + 1) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) ((x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.13

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.14

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.16

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + (x + 1) (2 x + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.17

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + (x + 1) \cdot 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.18

将 $2$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 \cdot (x + 1) x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19

化简。

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解题步骤 4.3.19.1

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + (2 x + 2 \cdot 1) x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.2

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x^{1} x + 2 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x^{1} x^{1} + 2 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x^{2} + 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.8

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (3 x^{2} + 1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.9

从 $(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (3 x^{2} + 1 + 2 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 4.3.19.9.1

从 $(x^{2} + 1) (x + 1)$ 中分解出因数 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 (x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (3 x^{2} + 1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.9.2

从 $(x - 1) (3 x^{2} + 1 + 2 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 (x^{2} + 1) (x + 1) + 1 (x - 1) (3 x^{2} + 1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.9.3

从 $1 ((x^{2} + 1) (x + 1)) + 1 ((x - 1) (3 x^{2} + 1 + 2 x))$ 中分解出因数 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 ((x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (3 x^{2} + 1 + 2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.10

将 $(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (3 x^{2} + 1 + 2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x + 1) + (x - 1) (3 x^{2} + 1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.11

重新排序项。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12

化简每一项。

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解题步骤 4.3.19.12.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 4.3.19.12.1.1

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.1.2

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.1.3

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.19.12.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.19.12.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.19.12.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 \cdot 1 + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.2.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + (3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 x^{2} + 1 + 2 x) (x - 1)$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.4

化简每一项。

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解题步骤 4.3.19.12.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.19.12.4.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.19.12.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{1} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.4.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 1 x + 1 \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{3} - 3 x^{2} + x + 1 \cdot - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{3} - 3 x^{2} + x - 1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.4.5

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{3} - 3 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.4.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{3} - 3 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.5

将 $- 3 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{3} - x^{2} + x - 1 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.12.6

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{3} - x^{2} - x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.13

合并 $x^{3} + x + x^{2} + 1 + 3 x^{3} - x^{2} - x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.19.13.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + 1 + 3 x^{3} + 0 - x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.13.2

将 $x^{3} + x + 1 + 3 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x + 1 + 3 x^{3} - x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.13.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + 1 + 3 x^{3} + 0 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.13.4

将 $x^{3} + 1 + 3 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + 1 + 3 x^{3} - 1}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.13.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + 3 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.13.6

将 $x^{3} + 3 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + 3 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.19.14

将 $x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3.20

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.4

简化。

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解题步骤 4.4.1

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{6 x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.1.2.1

从 $6 x^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 \cdot 3 x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.4.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 \cdot 3 x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.4.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{3}}{3 x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.4.2

约去 $x^{3}$ 和 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} \cdot 2}{3 x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.1

从 $3 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} \cdot 2}{x^{3} \cdot 3 x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} \cdot 2}{x^{3} \cdot 3 x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2}{3 x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 5

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{3} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{3} \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{3} \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 7.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{3} \cdot 0}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{3} \cdot 0}}{1 - 0}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{0}}{1 - 0}$

解题步骤 9.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{0^{2}}}{1 - 0}$

解题步骤 9.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 0}{1 - 0}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 0}{1 + 0}$

解题步骤 9.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 0}{1}$

解题步骤 9.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 9.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

微积分学 示例

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