微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 16$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 48$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [36 x]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

解题步骤 1.2.4.3

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $36 x^{2} - 96 x + 36$ 。

$36 x^{2} - 96 x + 36$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

解题步骤 2.2

从 $36 x^{2} - 96 x + 36$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 96 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $36$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

解题步骤 2.3

将 $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $3 x^{2} - 8 x + 3$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

解题步骤 2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5

将 $a = 3$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $64$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.3

从 $64$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.7.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.3

从 $64$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.8.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 2.8.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $2.21525043$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $2.21525043$ 替换变量 $x$ 。

$f (2.21525043) = 3 {(2.21525043)}^{4} - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $2.21525043$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2.21525043) = 3 \cdot 24.08193188 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $24.08193188$ 。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $2.21525043$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 \cdot 10.87097489 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 16$ 乘以 $10.87097489$ 。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.5

对 $2.21525043$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 \cdot 4.90733449$

解题步骤 3.1.2.1.6

将 $18$ 乘以 $4.90733449$ 。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 88.33202097$

解题步骤 3.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

从 $72.24579564$ 中减去 $173.93559828$ 。

$f (2.21525043) = - 101.68980263 + 88.33202097$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $- 101.68980263$ 和 $88.33202097$ 相加。

$f (2.21525043) = - 13.35778166$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $- 13.35778166$ 。

$- 13.35778166$

解题步骤 3.2

通过将 $2.21525043$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ 中求得的点为 $(2.21525043, - 13.35778166)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2.21525043, - 13.35778166)$

解题步骤 3.3

将 $0.45141622$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $0.45141622$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.45141622) = 3 {(0.45141622)}^{4} - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $0.45141622$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (0.45141622) = 3 \cdot 0.0415249 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0.0415249$ 。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $0.45141622$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 \cdot 0.09198807 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 16$ 乘以 $0.09198807$ 。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $0.45141622$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 \cdot 0.20377661$

解题步骤 3.3.2.1.6

将 $18$ 乘以 $0.20377661$ 。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 3.66797902$

解题步骤 3.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $0.12457472$ 中减去 $1.47180912$ 。

$f (0.45141622) = - 1.34723439 + 3.66797902$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $- 1.34723439$ 和 $3.66797902$ 相加。

$f (0.45141622) = 2.32074462$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $2.32074462$ 。

$2.32074462$

解题步骤 3.4

通过将 $0.45141622$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ 中求得的点为 $(0.45141622, 2.32074462)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.45141622, 2.32074462)$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(2.21525043, - 13.35778166), (0.45141622, 2.32074462)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0.45141622) \cup (0.45141622, 2.21525043) \cup (2.21525043, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0.45141622)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0.35141622$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.35141622) = 36 {(0.35141622)}^{2} - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0.35141622$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.35141622) = 36 \cdot 0.12349336 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

解题步骤 5.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.12349336$ 。

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 96$ 乘以 $0.35141622$ 。

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 33.73595804 + 36$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $4.44576119$ 中减去 $33.73595804$ 。

$f'' (0.35141622) = - 29.29019685 + 36$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 29.29019685$ 和 $36$ 相加。

$f'' (0.35141622) = 6.70980314$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $6.70980314$ 。

$6.70980314$

解题步骤 5.3

在 $0.35141622$ 处，二阶导数为 $6.70980314$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0.45141622)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0.45141622)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0.45141622, 2.21525043)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1.\overline{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.\overline{3}) = 36 {(1.\overline{3})}^{2} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $1.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

解题步骤 6.2.1.2

将 $36$ 乘以 $1.\overline{7}$ 。

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 96$ 乘以 $1.\overline{3}$ 。

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 128 + 36$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $64$ 中减去 $128$ 。

$f'' (1.\overline{3}) = - 64 + 36$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 64$ 和 $36$ 相加。

$f'' (1.\overline{3}) = - 28$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 28$ 。

$- 28$

解题步骤 6.3

在 $1.\overline{3}$ ，二阶导数为 $- 28$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0.45141622, 2.21525043)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0.45141622, 2.21525043)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(2.21525043, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.31525043$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.31525043) = 36 {(2.31525043)}^{2} - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2.31525043$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.31525043) = 36 \cdot 5.36038458 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

解题步骤 7.2.1.2

将 $36$ 乘以 $5.36038458$ 。

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 96$ 乘以 $2.31525043$ 。

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 222.26404195 + 36$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $192.9738451$ 中减去 $222.26404195$ 。

$f'' (2.31525043) = - 29.29019685 + 36$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 29.29019685$ 和 $36$ 相加。

$f'' (2.31525043) = 6.70980314$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $6.70980314$ 。

$6.70980314$

解题步骤 7.3

在 $2.31525043$ 处，二阶导数为 $6.70980314$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(2.21525043, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2.21525043, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$ .

$(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例