微积分学示例

$y = \frac{1}{c + k e^{c}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{c + k e^{c}}$ 重写为 ${(c + k e^{c})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d c} [{(c + k e^{c})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ 等于 $f' (g (c)) g' (c)$ ，其中 $f (c) = c^{- 1}$ 且 $g (c) = c + k e^{c}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $c + k e^{c}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d c} [c + k e^{c}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d c} [c + k e^{c}]$

解题步骤 2.3

使用 $c + k e^{c}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} \frac{d}{d c} [c + k e^{c}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $c + k e^{c}$ 对 $c$ 的导数是 $\frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [k e^{c}]$ 。

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (\frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [k e^{c}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ 等于 $n c^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d c} [k e^{c}])$

解题步骤 3.3

因为 $k$ 对于 $c$ 是常数，所以 $k e^{c}$ 对 $c$ 的导数是 $k \frac{d}{d c} [e^{c}]$ 。

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d c} [e^{c}])$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d c} [a^{c}]$ 等于 $a^{c} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (1 + k e^{c})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}} (1 + k e^{c})$

解题步骤 5.2

重新排序 $- \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}} (1 + k e^{c})$ 的因式。

$- (1 + k e^{c}) \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{c})) \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(- 1 - (k e^{c})) \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

解题步骤 5.5

将 $- 1 - k e^{c}$ 乘以 $\frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$ 。

$\frac{- 1 - k e^{c}}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) - k e^{c}}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

解题步骤 5.7

从 $- k e^{c}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - (k e^{c})}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

解题步骤 5.8

从 $- 1 (1) - (k e^{c})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + k e^{c})}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

解题步骤 5.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1 + k e^{c}}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

微积分学 示例

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