微积分学示例

$\frac{1}{\sqrt{2 a x}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 a x}$ 重写成 ${(2 a x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.2.1

从 $2 a x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 (a x))}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2

对 $2 (a x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.3

因为 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.4.2

将 ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.4.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 1.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = a^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (a) = a x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $a x$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 2.3

使用 $a x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 8

组合 ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{{(a x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x])$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} (2 {(a x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d a} [a x]$

解题步骤 11

通过指数相加将 $2^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 11.1

移动 $2$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.2.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

解题步骤 11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2^{1 + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

解题步骤 11.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

解题步骤 11.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2^{\frac{2 + 1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

解题步骤 11.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

解题步骤 12

因为 $x$ 对于 $a$ 是常数，所以 $a x$ 对 $a$ 的导数是 $x \frac{d}{d a} [a]$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} (x \frac{d}{d a} [a])$

解题步骤 13

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a]$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

对 $a x$ 运用乘积法则。

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} (a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 16.2

合并项。

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解题步骤 16.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{1}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

解题步骤 16.2.2

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 16.2.2.1

移动 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 16.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 16.2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 16.2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 16.2.2.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

解题步骤 16.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 16.2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

解题步骤 16.2.2.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

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