微积分学示例

$x^{2} - x - \ln (x)$

解题步骤 1

将 $x^{2} - x - \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} - x - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x - \frac{1}{x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.6

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.8

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0$

解题步骤 3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

解题步骤 3.5.2

将 $2 + \frac{1}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.5.3

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - x - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 5.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 5.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 5.1.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 5.1.4

重新排序项。

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - \frac{1}{x} - 1$ 。

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x, 1, 1$

解题步骤 6.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 6.3

将 $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

将 $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 6.3.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 6.3.2.1.2.2

约去公因数。

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

解题步骤 6.3.2.1.2.3

重写表达式。

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

解题步骤 6.4

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1.1

重新排序项。

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

解题步骤 6.4.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1.2.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.4.1.2.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

解题步骤 6.4.1.2.3

运用分配律。

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 6.4.1.2.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 6.4.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 6.4.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

解题步骤 6.4.1.4

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 6.4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.4.3

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.1

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

解题步骤 6.4.3.2

求解 $x$ 的 $2 x + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 6.4.3.2.2

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.2.2.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.4.3.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.4.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.4.3.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.4.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.4.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6.4.5

最终解为使 $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{2}, 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 1$

解题步骤 9

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 2$

解题步骤 10

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{1} + 2$

解题步骤 10.1.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1 + 2$

解题步骤 10.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 1$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

解题步骤 12.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - (1) - \ln (1)$

解题步骤 12.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 1 - \ln (1)$

解题步骤 12.2.1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = 1 - 1 - 0$

解题步骤 12.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = 1 - 1 + 0$

解题步骤 12.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = 0 + 0$

解题步骤 12.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (1) = 0$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ 的局部极值。

$(1, 0)$ 是一个局部最小值

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例