微积分学示例

$(- 3 k) {(\frac{- 2 k^{- 5}}{k^{3}})}^{- 4}$

解题步骤 1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $k^{- 5}$ 移动到分母。

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3} k^{5}})}^{- 4}]$

解题步骤 2

通过指数相加将 $k^{3}$ 乘以 $k^{5}$ 。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3 + 5}})}^{- 4}]$

解题步骤 2.2

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{8}})}^{- 4}]$

解题步骤 3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- \frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

解题步骤 4

从 $- \frac{2}{k^{8}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- (\frac{2}{k^{8}}))}^{- 4}]$

解题步骤 5

对 $- (\frac{2}{k^{8}})$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d k} [- 3 k ({(- 1)}^{- 4} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

解题步骤 6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{{(- 1)}^{4}} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

解题步骤 7

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 7.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

解题步骤 7.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

解题步骤 7.2.1.2

重写表达式。

$\frac{d}{d k} [- 3 k (1 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

解题步骤 7.2.2

将 ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

解题步骤 7.3

因为 $- 3$ 对于 $k$ 是常数，所以 $- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ 对 $k$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

解题步骤 8

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ 等于 $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ ，其中 $f (k) = k$ 且 $g (k) = {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ 。

$- 3 (k \frac{d}{d k} [{(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}] + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ 等于 $f' (g (k)) g' (k)$ ，其中 $f (k) = k^{- 4}$ 且 $g (k) = \frac{2}{k^{8}}$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2}{k^{8}}$ 。

$- 3 (k (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$- 3 (k (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 9.3

使用 $\frac{2}{k^{8}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

因为 $2$ 对于 $k$ 是常数，所以 $\frac{2}{k^{8}}$ 对 $k$ 的导数是 $2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]$ 。

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}])) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 10.2

化简表达式。

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解题步骤 10.2.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 10.2.2

将 $\frac{1}{k^{8}}$ 重写为 ${(k^{8})}^{- 1}$ 。

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [{(k^{8})}^{- 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 10.2.3

将 ${(k^{8})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{8 \cdot - 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 10.2.3.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{- 8}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 10.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 等于 $n k^{n - 1}$ ，其中 $n = - 8$ 。

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (- 8 k^{- 9})) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 10.4

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$- 3 (k (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} k^{- 9}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 11

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 (k^{- 9} k^{1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 (k^{- 9 + 1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 13

将 $- 9$ 和 $1$ 相加。

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 等于 $n k^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \cdot 1)$

解题步骤 15

将 ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

解题步骤 16.2

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

解题步骤 16.3

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

解题步骤 16.4

对 $\frac{k^{8}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

解题步骤 16.5

对 $\frac{k^{8}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}})$

解题步骤 16.6

运用分配律。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7

合并项。

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解题步骤 16.7.1

将 ${(k^{8})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 16.7.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{8 \cdot 5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.1.2

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{32})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.3

组合 $64$ 和 $\frac{k^{40}}{32}$ 。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{64 k^{40}}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.4

约去 $64$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 16.7.4.1

从 $64 k^{40}$ 中分解出因数 $32$ 。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.4.2

约去公因数。

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解题步骤 16.7.4.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $32$ 。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 (1)}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.4.2.2

约去公因数。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 \cdot 1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.4.2.3

重写表达式。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{2 k^{40}}{1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.4.2.4

用 $2 k^{40}$ 除以 $1$ 。

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (2 k^{40})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{k^{8}}$ 。

$- 3 (\frac{2}{k^{8}} k^{40}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.6

组合 $\frac{2}{k^{8}}$ 和 $k^{40}$ 。

$- 3 \frac{2 k^{40}}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.7

约去 $k^{40}$ 和 $k^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 16.7.7.1

从 $2 k^{40}$ 中分解出因数 $k^{8}$ 。

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.7.2

约去公因数。

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解题步骤 16.7.7.2.1

乘以 $1$ 。

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.7.2.2

约去公因数。

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.7.2.3

重写表达式。

$- 3 \frac{2 k^{32}}{1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.7.2.4

用 $2 k^{32}$ 除以 $1$ 。

$- 3 (2 k^{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.8

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 k^{32} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.9

将 ${(k^{8})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 16.7.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{8 \cdot 4}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.9.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{2^{4}}$

解题步骤 16.7.10

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{16}$

解题步骤 16.7.11

组合 $- 3$ 和 $\frac{k^{32}}{16}$ 。

$- 6 k^{32} + \frac{- 3 k^{32}}{16}$

解题步骤 16.7.12

将负号移到分数的前面。

$- 6 k^{32} - \frac{3 k^{32}}{16}$

解题步骤 16.7.13

要将 $- 6 k^{32}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$- 6 k^{32} \cdot \frac{16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

解题步骤 16.7.14

组合 $- 6 k^{32}$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

解题步骤 16.7.15

在公分母上合并分子。

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16 - 3 k^{32}}{16}$

解题步骤 16.7.16

将 $16$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{- 96 k^{32} - 3 k^{32}}{16}$

解题步骤 16.7.17

从 $- 96 k^{32}$ 中减去 $3 k^{32}$ 。

$\frac{- 99 k^{32}}{16}$

解题步骤 16.7.18

将负号移到分数的前面。

$- \frac{99 k^{32}}{16}$

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