微积分学示例

$\frac{8 (4 - 4 h + h^{2}) - 32 + 5}{h}$

解题步骤 1

将 $- 32$ 和 $5$ 相加。

$\frac{d}{d h} [\frac{8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27}{h}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ 等于 $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ ，其中 $f (h) = 8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27$ 且 $g (h) = h$ 。

$\frac{h \frac{d}{d h} [8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27] - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [8 (4 - 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 27]$ 。

$\frac{h (\frac{d}{d h} [8 (4 - 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $8$ 对于 $h$ 是常数，所以 $8 (4 - 4 h + h^{2})$ 对 $h$ 的导数是 $8 \frac{d}{d h} [4 - 4 h + h^{2}]$ 。

$\frac{h (8 \frac{d}{d h} [4 - 4 h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $4 - 4 h + h^{2}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ 。

$\frac{h (8 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $4$ 对于 $h$ 是常数，所以 $4$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{h (8 (0 + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d h} [- 4 h]$ 相加。

$\frac{h (8 (\frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $- 4$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 4 h$ 对 $h$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d h} [h]$ 。

$\frac{h (8 (- 4 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{h (8 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h (8 (- 4 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.10

因为 $- 27$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 27$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h) + 0) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $8 (- 4 + 2 h)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \cdot 1}{h^{2}}$

解题步骤 3.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27)}{h^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{h (8 \cdot - 4 + 8 (2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27)}{h^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{h (8 \cdot - 4) + h (8 (2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27)}{h^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{h (8 \cdot - 4) + h (8 (2 h)) - (8 \cdot 4 + 8 (- 4 h) + 8 h^{2} - 27)}{h^{2}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{h (8 \cdot - 4) + h (8 (2 h)) - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1.1

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{h \cdot - 32 + h (8 (2 h)) - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.2

将 $- 32$ 移到 $h$ 的左侧。

$\frac{- 32 \cdot h + h (8 (2 h)) - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 32 h + 8 \cdot 2 h \cdot h - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.4

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 4.5.1.4.1

移动 $h$ 。

$\frac{- 32 h + 8 \cdot 2 (h \cdot h) - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.4.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{- 32 h + 8 \cdot 2 h^{2} - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.5

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.6

乘以 $- (8 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 4.5.1.6.1

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 1 \cdot 32 - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.7

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 - (- 32 h) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.8

将 $- 32$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 + 32 h - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.9

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 + 32 h - 8 h^{2} - - 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.1.10

将 $- 1$ 乘以 $- 27$ 。

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 + 32 h - 8 h^{2} + 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.2

合并 $- 32 h + 16 h^{2} - 32 + 32 h - 8 h^{2} + 27$ 中相反的项。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $- 32 h$ 和 $32 h$ 相加。

$\frac{16 h^{2} - 32 + 0 - 8 h^{2} + 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.2.2

将 $16 h^{2} - 32$ 和 $0$ 相加。

$\frac{16 h^{2} - 32 - 8 h^{2} + 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.3

从 $16 h^{2}$ 中减去 $8 h^{2}$ 。

$\frac{8 h^{2} - 32 + 27}{h^{2}}$

解题步骤 4.5.4

将 $- 32$ 和 $27$ 相加。

$\frac{8 h^{2} - 5}{h^{2}}$

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