微积分学示例

$lim_{x \to \infty} x^{5} e^{- x^{4}}$

解题步骤 1

将 $x^{5} e^{- x^{4}}$ 重写为 $\frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.3

因为指数 $x^{4}$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x^{4}}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} (4 x^{3})}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

重新排序 $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ 的因式。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $4 e^{x^{4}} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

解题步骤 2.4

约去 $x^{4}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $4 x^{3} e^{x^{4}}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{4 e^{x^{4}}}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{5}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

解题步骤 4.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

解题步骤 4.1.3

因为指数 $x^{4}$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x^{4}}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 4.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 4.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}}$

解题步骤 4.3.5

化简。

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解题步骤 4.3.5.1

重新排序 $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ 的因式。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $4 e^{x^{4}} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

解题步骤 5

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

乘以 $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{5}{4 \cdot 4} \cdot 0$

解题步骤 7.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5}{16} \cdot 0$

解题步骤 7.2

将 $\frac{5}{16}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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