微积分学示例

${(\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ 等于 $f' (g (n)) g' (n)$ ，其中 $f (n) = n^{2}$ 且 $g (n) = \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

组合 $2$ 和 $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ 。

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

解题步骤 2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $n$ 是常数，所以 $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$ 。

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}])$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{n (n + 1)}{n^{4}}$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$

解题步骤 3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ 等于 $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ ，其中 $f (n) = n (n + 1)$ 且 $g (n) = n^{4}$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{{(n^{4})}^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

将 ${(n^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{8}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) (4 n^{3})}{n^{8}}$

解题步骤 4.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

解题步骤 4.3.2

从 $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}$ 中分解出因数 $n^{3}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)]$ 中分解出因数 $n^{3}$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

解题步骤 4.3.2.2

从 $- 4 n (n + 1) n^{3}$ 中分解出因数 $n^{3}$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))$ 中分解出因数 $n^{3}$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 $n^{8}$ 中分解出因数 $n^{3}$ 。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ 乘以 $\frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$ 。

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{4} n^{5}}$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $n^{4}$ 乘以 $n^{5}$ 。

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解题步骤 6.2.1

移动 $n^{5}$ 。

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 (n^{5} n^{4})}$

解题步骤 6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{5 + 4}}$

解题步骤 6.2.3

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{9}}$

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