微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{36 + x} - 6}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{36 + x} - 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{36 + x} - lim_{x \to 0} 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 36 + x} - lim_{x \to 0} 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 36 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $36$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{36 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{36 + lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{36 + 0} - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $36$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{36} - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6^{2}} - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{36 + x} - 6}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{36 + x} - 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{36 + x} - 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{36 + x} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{36 + x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{36 + x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{36 + x}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{36 + x}$ 重写成 ${(36 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(36 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 36 + x$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $36 + x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [36 + x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 + x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $36 + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 + x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $36 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.4

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.9

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.11

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(36 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(36 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(36 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.13

将 $\frac{{(36 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(36 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(36 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(36 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(36 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{1}{2 {(36 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(36 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(36 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(36 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 ${(36 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{36 + x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{36 + x}} \cdot 1$

解题步骤 1.6

将 $\frac{1}{2 \sqrt{36 + x}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{36 + x}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{36 + x}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{36 + x}}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{36 + x}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 36 + x}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 36 + lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 2.6

计算 $36$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{36 + lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{36 + 0}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $36$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{36}}$

解题步骤 4.1.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{6^{2}}}$

解题步骤 4.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 4.2

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{12}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{12}$

小数形式：

$0.08\overline{3}$

微积分学 示例

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