微积分学示例

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

解题步骤 1

因为 $r$ 对于 $n$ 是常数，所以 $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ 对 $n$ 的导数是 $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ 。

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ 等于 $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ ，其中 $f (n) = n$ 且 $g (n) = 1 + (n - 1) r$ 。

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $1 + (n - 1) r$ 乘以 $1$ 。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $1 + (n - 1) r$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ 。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 对于 $n$ 是常数，所以 $1$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ 相加。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $r$ 对于 $n$ 是常数，所以 $(n - 1) r$ 对 $n$ 的导数是 $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ 。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $n - 1$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ 。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $- 1$ 对于 $n$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.10

合并分数。

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解题步骤 3.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 3.10.3

组合 $r$ 和 $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ 。

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

合并 $r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ 中相反的项。

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解题步骤 4.4.1.1

按照 $r (n r)$ 和 $r (- n r)$ 重新排列因数。

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2

从 $n r \cdot r$ 中减去 $n r \cdot r$ 。

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.3

将 $r \cdot 1 + r (- 1 r)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $r$ 乘以 $1$ 。

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2.3

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 4.4.2.3.1

移动 $r$ 。

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2.3.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $- 1 r$ 重写为 $- r$ 。

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

解题步骤 4.6

重新排序项。

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7

从 $- r^{2} + r$ 中分解出因数 $r$ 。

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解题步骤 4.7.1

从 $- r^{2}$ 中分解出因数 $r$ 。

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7.2

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7.3

从 $r^{1}$ 中分解出因数 $r$ 。

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7.4

从 $r (- r) + r \cdot 1$ 中分解出因数 $r$ 。

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8

从 $- r$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.10

从 $- (r) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将 $- (r - 1)$ 重写为 $- 1 (r - 1)$ 。

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

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