微积分学示例

$\frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ 等于 $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ，其中 $f (q) = \cos (q) - \sin (q)$ 且 $g (q) = \cos (q)$ 。

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\cos (q) - \sin (q)] - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 2

根据加法法则， $\cos (q) - \sin (q)$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]$ 。

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3

$\cos (q)$ 对 $q$ 的导数为 $- \sin (q)$ 。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 对于 $q$ 是常数，所以 $- \sin (q)$ 对 $q$ 的导数是 $- \frac{d}{d q} [\sin (q)]$ 。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \frac{d}{d q} [\sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 5

$\sin (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\cos (q)$ 。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 6

$\cos (q)$ 对 $q$ 的导数为 $- \sin (q)$ 。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 7

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + 1 (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 7.2

将 $\cos (q) - \sin (q)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

合并 $\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1.1

按照 $\cos (q) (- \sin (q))$ 和 $\cos (q) \sin (q)$ 重新排列因数。

$\frac{- \cos (q) \sin (q) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $- \cos (q) \sin (q)$ 和 $\cos (q) \sin (q)$ 相加。

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) + 0 - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $\cos (q) (- \cos (q))$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \cos (q) \cos (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.2.2

乘以 $- \cos (q) \cos (q)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.2.2.1

对 $\cos (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.2.2.2

对 $\cos (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- {\cos (q)}^{1 + 1} - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.2.3

乘以 $- \sin (q) \sin (q)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.2.3.1

对 $\sin (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.2.3.2

对 $\sin (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q))}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \cos^{2} (q) - {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.3

从 $- \cos^{2} (q)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.4

从 $- \sin^{2} (q)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.5

从 $- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.6

重新整理项。

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.7

使用勾股恒等式。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.4

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.4.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 8.4.2

将 $\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ 转换成 $\sec^{2} (q)$ 。

$- \sec^{2} (q)$

微积分学 示例

微积分学示例