微积分学示例

$\frac{q \sin (q)}{q^{2} - 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ 等于 $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ，其中 $f (q) = q \sin (q)$ 且 $g (q) = q^{2} - 1$ 。

$\frac{(q^{2} - 1) \frac{d}{d q} [q \sin (q)] - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ 等于 $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ ，其中 $f (q) = q$ 且 $g (q) = \sin (q)$ 。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \frac{d}{d q} [\sin (q)] + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

$\sin (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\cos (q)$ 。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \cdot 1) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $\sin (q)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $q^{2} - 1$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1]$ 。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

因为 $- 1$ 对于 $q$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + 0)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $2 q$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q \sin (q) q}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

对 $q$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 6

对 $q$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q^{1}) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{1 + 1} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q))$ 。

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解题步骤 9.1.1.1

运用分配律。

$\frac{q^{2} (q \cos (q) + \sin (q)) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.1.2

运用分配律。

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.1.3

运用分配律。

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

化简每一项。

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解题步骤 9.1.2.1

通过指数相加将 $q^{2}$ 乘以 $q$ 。

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解题步骤 9.1.2.1.1

移动 $q$ 。

$\frac{q \cdot q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.1.2

将 $q$ 乘以 $q^{2}$ 。

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解题步骤 9.1.2.1.2.1

对 $q$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{q^{1} q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{q^{1 + 2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.2

将 $- 1 (q \cos (q))$ 重写为 $- (q \cos (q))$ 。

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.3

将 $- 1 \sin (q)$ 重写为 $- \sin (q)$ 。

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2

从 $q^{2} \sin (q)$ 中减去 $2 q^{2} \sin (q)$ 。

$\frac{q^{3} \cos (q) - q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

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