微积分学示例

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ 。

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解题步骤 2.1

组合 $p$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{p \cdot 4}{3}$ 和 ${(r + h)}^{3}$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.3

将 $4$ 移到 $p$ 的左侧。

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.4

因为 $\frac{4 p}{3}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ 。

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{3}$ 且 $g (r) = r + h$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $r + h$ 。

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.5.3

使用 $r + h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $r + h$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ 。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.8

因为 $h$ 对于 $r$ 是常数，所以 $h$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.11

组合 $3$ 和 $\frac{4 p}{3}$ 。

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.12

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.13

组合 $\frac{12 p}{3}$ 和 ${(r + h)}^{2}$ 。

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.14

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.14.1

从 $12 p {(r + h)}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 2.14.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.14.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.14.2.3

重写表达式。

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 2.14.2.4

用 $4 p {(r + h)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $p$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

解题步骤 3.2

组合 $r^{3}$ 和 $\frac{p \cdot 4}{3}$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

解题步骤 3.3

将 $4$ 移到 $p$ 的左侧。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

解题步骤 3.4

将 $4$ 移到 $r^{3}$ 的左侧。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

解题步骤 3.5

因为 $- \frac{4 p}{3}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ 对 $r$ 的导数是 $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

解题步骤 3.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

解题步骤 3.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{4 p}{3}$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

解题步骤 3.9

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{- 12 p}{3}$ 和 $r^{2}$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

解题步骤 3.11

约去 $- 12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.1

从 $- 12 p r^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

解题步骤 3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

解题步骤 3.11.2.2

约去公因数。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

解题步骤 3.11.2.3

重写表达式。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

解题步骤 3.11.2.4

用 $- 4 p r^{2}$ 除以 $1$ 。

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 ${(r + h)}^{2}$ 重写为 $(r + h) (r + h)$ 。

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(r + h) (r + h)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

运用分配律。

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2.2.2

运用分配律。

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2.2.3

运用分配律。

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1.1

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2.3.2

将 $r h$ 和 $h r$ 相加。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $r$ 和 $h$ 重新排序。

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 $h r$ 和 $h r$ 相加。

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2.4

运用分配律。

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.2.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.3

合并 $4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.1

按照 $4 p r^{2}$ 和 $- 4 r^{2} p$ 重新排列因数。

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

解题步骤 4.3.2

从 $4 r^{2} p$ 中减去 $4 r^{2} p$ 。

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

解题步骤 4.3.3

将 $8 p h r + 4 p h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$8 p h r + 4 p h^{2}$

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