微积分学示例

$\frac{Gm M}{r^{2}}$

解题步骤 1

因为 $Gm M$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{Gm M}{r^{2}}$ 对 $r$ 的导数是 $Gm M \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ 。

$Gm M \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{r^{2}}$ 重写为 ${(r^{2})}^{- 1}$ 。

$Gm M \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2

将 ${(r^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$Gm M \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$Gm M \frac{d}{d r} [r^{- 2}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$Gm M (- 2 r^{- 3})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$Gm M (- 2 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{r^{3}}$ 。

$Gm M \frac{- 2}{r^{3}}$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$Gm M (- \frac{2}{r^{3}})$

解题步骤 4.2.3

组合 $Gm$ 和 $\frac{2}{r^{3}}$ 。

$M (- (\frac{2}{r^{3}} Gm))$

解题步骤 4.2.4

组合 $M$ 和 $\frac{2}{r^{3}}$ 。

$- (\frac{M \cdot 2}{r^{3}} Gm)$

解题步骤 4.2.5

将 $2$ 移到 $M$ 的左侧。

$- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$

解题步骤 4.3

重新排序 $- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$ 的因式。

$- Gm \frac{2 M}{r^{3}}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

组合 $- Gm$ 和 $\frac{2 M}{r^{3}}$ 。

$\frac{- (2 M)}{r^{3}} Gm$

解题步骤 4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 M}{r^{3}} Gm$

解题步骤 4.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$

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