微积分学示例

$P (r) = \frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$ 对 $r$ 的导数是 $5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$ 。

$5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ 等于 $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ，其中 $f (r) = 3 r + 1$ 且 $g (r) = r^{2} + r + 2$ 。

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \frac{d}{d r} [3 r + 1] - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 r + 1$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]$ 。

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $r$ 是常数，所以 $3 r$ 对 $r$ 的导数是 $3 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $r$ 是常数，所以 $1$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + 0) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \cdot 3 - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 移到 $r^{2} + r + 2$ 的左侧。

$5 \frac{3 \cdot (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $r^{2} + r + 2$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]$ 。

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.10

因为 $2$ 对于 $r$ 是常数，所以 $2$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + 0)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.11

合并分数。

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解题步骤 3.11.1

将 $2 r + 1$ 和 $0$ 相加。

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.11.2

组合 $5$ 和 $\frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{5 (3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{5 (3 r^{2}) + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{15 r^{2} + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.3

乘以 $5 (3 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 4.4.1.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 \cdot 6 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.3.2

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.4.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 r - 1) (2 r + 1)$ 。

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解题步骤 4.4.1.5.1

运用分配律。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r + 1) - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.5.2

运用分配律。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.5.3

运用分配律。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6.1.2

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 4.4.1.6.1.2.1

移动 $r$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6.1.2.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6.1.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6.2

从 $- 3 r$ 中减去 $2 r$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 5 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.7

运用分配律。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2}) + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.8

化简。

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解题步骤 4.4.1.8.1

将 $- 6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.8.2

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.8.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

从 $15 r^{2}$ 中减去 $30 r^{2}$ 。

$\frac{- 15 r^{2} + 15 r + 30 - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

从 $15 r$ 中减去 $25 r$ 。

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 30 - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.4

从 $30$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

从 $- 15 r^{2} - 10 r + 25$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

从 $- 15 r^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 r^{2}) - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.2

从 $- 10 r$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.3

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.4

从 $5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.5

从 $5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

分组因式分解。

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解题步骤 4.5.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 4.5.2.1.1

从 $- 2 r$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 (r) + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.1.2

把 $- 2$ 重写为 $3$ 加 $- 5$

$\frac{5 (- 3 r^{2} + (3 - 5) r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.1.3

运用分配律。

$\frac{5 (- 3 r^{2} + 3 r - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{5 ((- 3 r^{2} + 3 r) - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{5 (3 r (- r + 1) + 5 (- r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- r + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{5 ((- r + 1) (3 r + 5))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

$\frac{5 (- r + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.6

从 $- r$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{5 (- (r) + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{5 (- (r) - 1 (- 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.8

从 $- (r) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{5 (- (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将 $- (r - 1)$ 重写为 $- 1 (r - 1)$ 。

$\frac{5 (- 1 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将 $- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{5 (r - 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

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