微积分学示例

$g (r) = (8 r^{3} + 7 r + 4) (r^{2} + 3)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 等于 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ，其中 $f (r) = 8 r^{3} + 7 r + 4$ 且 $g (r) = r^{2} + 3$ 。

$(8 r^{3} + 7 r + 4) \frac{d}{d r} [r^{2} + 3] + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $r^{2} + 3$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]$ 。

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $r$ 是常数，所以 $3$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + 0) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 r$ 和 $0$ 相加。

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $8 r^{3} + 7 r + 4$ 的左侧。

$2 \cdot (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $8 r^{3} + 7 r + 4$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4]$ 。

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

解题步骤 2.6

因为 $8$ 对于 $r$ 是常数，所以 $8 r^{3}$ 对 $r$ 的导数是 $8 \frac{d}{d r} [r^{3}]$ 。

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 \frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 (3 r^{2}) + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

解题步骤 2.8

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

解题步骤 2.9

因为 $7$ 对于 $r$ 是常数，所以 $7 r$ 对 $r$ 的导数是 $7 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [4])$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [4])$

解题步骤 2.11

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + \frac{d}{d r} [4])$

解题步骤 2.12

因为 $4$ 对于 $r$ 是常数，所以 $4$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + 0)$

解题步骤 2.13

将 $24 r^{2} + 7$ 和 $0$ 相加。

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(2 (8 r^{3}) + 2 (7 r) + 2 \cdot 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + (r^{2} + 3) (24 r^{2}) + (r^{2} + 3) \cdot 7$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + (r^{2} + 3) \cdot 7$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6

合并项。

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解题步骤 3.6.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$16 r^{3} r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.2

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 (r^{1} r^{3}) + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 r^{1 + 3} + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$16 r^{4} + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.5

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$16 r^{4} + 14 r \cdot r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.6

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 r^{4} + 14 (r^{1} r) + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.7

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 r^{4} + 14 (r^{1} r^{1}) + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 r^{4} + 14 r^{1 + 1} + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.11

通过指数相加将 $r^{2}$ 乘以 $r^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.11.1

移动 $r^{2}$ 。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{2} r^{2} \cdot 24 + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{2 + 2} \cdot 24 + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.11.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{4} \cdot 24 + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.12

将 $24$ 移到 $r^{4}$ 的左侧。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 \cdot r^{4} + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.13

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 72 r^{2} + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.14

将 $7$ 移到 $r^{2}$ 的左侧。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 72 r^{2} + 7 \cdot r^{2} + 3 \cdot 7$

解题步骤 3.6.15

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 72 r^{2} + 7 r^{2} + 21$

解题步骤 3.6.16

将 $72 r^{2}$ 和 $7 r^{2}$ 相加。

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 79 r^{2} + 21$

解题步骤 3.6.17

将 $16 r^{4}$ 和 $24 r^{4}$ 相加。

$40 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 79 r^{2} + 21$

解题步骤 3.6.18

将 $14 r^{2}$ 和 $79 r^{2}$ 相加。

$40 r^{4} + 93 r^{2} + 8 r + 21$

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