微积分学示例

$\frac{10000}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $10000$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{10000}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$ 对 $t$ 的导数是 $10000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}]$ 。

$10000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$ 重写为 ${(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 1}$ 。

$10000 \frac{d}{d t} [{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = 9 + 4 e^{- 0.2 t}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ 。

$10000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$10000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 2.3

使用 $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$10000 (- {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $10000$ 。

$- 10000 ({(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$ 。

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.3

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$ 相加。

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$

解题步骤 3.5

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 e^{- 0.2 t}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}]$ 。

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (4 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.6

将 $4$ 乘以 $- 10000$ 。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 0.2 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 0.2 t$ 。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

解题步骤 4.3

使用 $- 0.2 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 0.2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 0.2 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.2

将 $- 0.2$ 乘以 $- 40000$ 。

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} \cdot 1)$

解题步骤 5.4

将 $e^{- 0.2 t}$ 乘以 $1$ 。

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} e^{- 0.2 t}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} e^{- 0.2 t}$ 的因式。

$8000 e^{- 0.2 t} {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2}$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8000 e^{- 0.2 t} \frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$

解题步骤 6.3

乘以 $8000 e^{- 0.2 t} \frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ 和 $8000$ 。

$\frac{8000}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}} e^{- 0.2 t}$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{8000}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ 和 $e^{- 0.2 t}$ 。

$\frac{8000 e^{- 0.2 t}}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$

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