微积分学示例

$2^{\sqrt{t}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [2^{t^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = 2^{t}$ 且 $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 $t^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 10

组合 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $2^{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}}}{2} \ln (2)$

解题步骤 11

组合 $\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}}}{2}$ 和 $\ln (2)$ 。

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)}{2}$

解题步骤 12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13

从 $2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

约去公因数。

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解题步骤 14.1

从 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 (t^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$\frac{2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2)}{t^{\frac{1}{2}}}$

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