微积分学示例

$\frac{3 t - 1}{t^{2} + 5 t}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 3 t - 1$ 且 $g (t) = t^{2} + 5 t$ 。

$\frac{(t^{2} + 5 t) \frac{d}{d t} [3 t - 1] - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + 0) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(t^{2} + 5 t) \cdot 3 - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $3$ 移到 $t^{2} + 5 t$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $t^{2} + 5 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ 。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 t$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \cdot 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t + 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 t + 1) (2 t + 5)$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1

运用分配律。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t + 5) + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.2

运用分配律。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.3

运用分配律。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1.2.1

移动 $t$ 。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.2.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.4

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.5

将 $2 t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.2

将 $- 15 t$ 和 $2 t$ 相加。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

从 $3 t^{2}$ 中减去 $6 t^{2}$ 。

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $15 t$ 中减去 $13 t$ 。

$\frac{- 3 t^{2} + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4

分组因式分解。

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解题步骤 3.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 3 t^{2} + 2 (t) + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

把 $2$ 重写为 $- 3$ 加 $5$

$\frac{- 3 t^{2} + (- 3 + 5) t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

运用分配律。

$\frac{- 3 t^{2} - 3 t + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- 3 t^{2} - 3 t) + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{3 t (- t - 1) - 5 (- t - 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

通过因式分解出最大公因数 $- t - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

从 $t^{2} + 5 t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + 5 t)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

从 $5 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + t \cdot 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $t \cdot t + t \cdot 5$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t (t + 5))}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

对 $t (t + 5)$ 运用乘积法则。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6

从 $- t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (t) - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{(- (t) - 1 (1)) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8

从 $- (t) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $- (t + 1)$ 重写为 $- 1 (t + 1)$ 。

$\frac{- 1 (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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