微积分学示例

$A e^{k t} \sin (b t)$

解题步骤 1

因为 $A$ 对于 $t$ 是常数，所以 $A e^{k t} \sin (b t)$ 对 $t$ 的导数是 $A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ 。

$A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = e^{k t}$ 且 $g (t) = \sin (b t)$ 。

$A (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = b t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $b t$ 。

$A (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$A (e^{k t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

解题步骤 3.3

使用 $b t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

解题步骤 4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

因为 $b$ 对于 $t$ 是常数，所以 $b t$ 对 $t$ 的导数是 $b \frac{d}{d t} [t]$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

解题步骤 4.3

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = k t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $k t$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t]))$

解题步骤 5.3

使用 $k t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

解题步骤 6

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

因为 $k$ 对于 $t$ 是常数，所以 $k t$ 对 $t$ 的导数是 $k \frac{d}{d t} [t]$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

解题步骤 6.3

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

运用分配律。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (\sin (b t) (e^{k t} k))$

解题步骤 7.2

去掉圆括号。

$A e^{k t} (\cos (b t) b) + A \sin (b t) (e^{k t} k)$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$

解题步骤 7.4

将 $e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$ 中的因式重新排序。

$A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$

微积分学 示例

微积分学示例