微积分学示例

$\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$

解题步骤 1

因为 $500$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$ 对 $t$ 的导数是 $500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$ 。

$500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = 2 t^{2} + 25$ 。

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $2 t^{2} + 25$ 乘以 $1$ 。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $2 t^{2} + 25$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ 。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $25$ 对于 $t$ 是常数，所以 $25$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

将 $4 t$ 和 $0$ 相加。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 4

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 5

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t^{1})}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{1 + 1}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 8

从 $2 t^{2}$ 中减去 $4 t^{2}$ 。

$500 \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 9

组合 $500$ 和 $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$ 。

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 2$ 乘以 $500$ 。

$\frac{- 1000 t^{2} + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

将 $500$ 乘以 $25$ 。

$\frac{- 1000 t^{2} + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.3

从 $- 1000 t^{2} + 12500$ 中分解出因数 $500$ 。

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解题步骤 10.3.1

从 $- 1000 t^{2}$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.3.2

从 $12500$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.3.3

从 $500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.4

从 $- 2 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.5

将 $25$ 重写为 $- 1 (- 25)$ 。

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.6

从 $- (2 t^{2}) - 1 (- 25)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.7

将 $- (2 t^{2} - 25)$ 重写为 $- 1 (2 t^{2} - 25)$ 。

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 10.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{500 (2 t^{2} - 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

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