微积分学示例

$\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}]$ 。

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}$ 重写为 ${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 。

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = t^{\frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $t^{\frac{1}{5}}$ 。

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.3.3

使用 $t^{\frac{1}{5}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.5

将 ${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 (- t^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.5.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 2$ 。

$5 (- t^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.5.3

将负号移到分数的前面。

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.9.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.10

将负号移到分数的前面。

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.11

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $t^{- \frac{4}{5}}$ 。

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} \frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.12

组合 $\frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}$ 和 $t^{- \frac{2}{5}}$ 。

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5}} t^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.13

通过指数相加将 $t^{- \frac{4}{5}}$ 乘以 $t^{- \frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 2.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.13.2

在公分母上合并分子。

$5 (- \frac{t^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.13.3

从 $- 4$ 中减去 $2$ 。

$5 (- \frac{t^{\frac{- 6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.13.4

将负号移到分数的前面。

$5 (- \frac{t^{- \frac{6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{6}{5}}$ 移动到分母。

$5 (- \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.15

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.16

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}$ 。

$\frac{- 5}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.17

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.18

约去公因数。

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解题步骤 2.18.1

从 $5 t^{\frac{6}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (t^{\frac{6}{5}})} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.18.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.18.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.19

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ 对 $t$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = t^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $t^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.5

将 ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 3.9

化简分子。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}))$

解题步骤 3.9.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $t^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{1}{2}} t^{- 3}}{2})$

解题步骤 3.12

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.12.1

移动 $t^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 (t^{- 3} t^{\frac{1}{2}})}{2})$

解题步骤 3.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.12.3

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.12.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.12.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.12.6

化简分子。

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解题步骤 3.12.6.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.12.6.2

将 $- 6$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

解题步骤 3.12.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- \frac{5}{2}}}{2})$

解题步骤 3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}})$

解题步骤 3.14

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.15

组合 $8$ 和 $\frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{8 \cdot 3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.16

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{24}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.17

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.18

约去公因数。

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解题步骤 3.18.1

从 $2 t^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 (t^{\frac{5}{2}})}$

解题步骤 3.18.2

约去公因数。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.18.3

重写表达式。

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{12}{t^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4

重新排序项。

$\frac{12}{t^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}}$

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