微积分学示例

$\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})} + 6$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})} + 6$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}] + \frac{d}{d t} [6]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [\frac{\cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}]$ 。

$5 \frac{d}{d t} [\frac{\cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = \cos (\frac{2 t}{π})$ 且 $g (t) = 2 + \sin (\frac{2 t}{π})$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) \frac{d}{d t} [\cos (\frac{2 t}{π})] - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = \frac{2 t}{π}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{2 t}{π}$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}]) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}]) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.3.3

使用 $\frac{2 t}{π}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}]) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.4

因为 $\frac{2}{π}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{2 t}{π}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{2}{π} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \frac{d}{d t} [t])) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $2 + \sin (\frac{2 t}{π})$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (\frac{2 t}{π})]$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (\frac{2 t}{π})])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.7

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (\frac{2 t}{π})])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = \frac{2 t}{π}$ 。

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解题步骤 2.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{2 t}{π}$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.8.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.8.3

使用 $\frac{2 t}{π}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.9

因为 $\frac{2}{π}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{2 t}{π}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{2}{π} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \frac{d}{d t} [t]))}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1))}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.11

将 $\frac{2}{π}$ 乘以 $1$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) \frac{2}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1))}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.12

组合 $\frac{2}{π}$ 和 $\sin (\frac{2 t}{π})$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1))}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.13

将 $\frac{2}{π}$ 乘以 $1$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{2}{π})}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.14

组合 $\cos (\frac{2 t}{π})$ 和 $\frac{2}{π}$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \frac{\cos (\frac{2 t}{π}) \cdot 2}{π})}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.15

将 $2$ 移到 $\cos (\frac{2 t}{π})$ 的左侧。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \frac{2 \cdot \cos (\frac{2 t}{π})}{π})}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.16

将 $0$ 和 $\frac{2 \cos (\frac{2 t}{π})}{π}$ 相加。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{2 \cos (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.17

组合 $\frac{2 \cos (\frac{2 t}{π})}{π}$ 和 $\cos (\frac{2 t}{π})$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 \cos (\frac{2 t}{π}) \cos (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.18

对 $\cos (\frac{2 t}{π})$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 (\cos^{1} (\frac{2 t}{π}) \cos (\frac{2 t}{π}))}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.19

对 $\cos (\frac{2 t}{π})$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 (\cos^{1} (\frac{2 t}{π}) \cos^{1} (\frac{2 t}{π}))}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 {\cos (\frac{2 t}{π})}^{1 + 1}}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.21

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.22

要将 $(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{π}{π}$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) \cdot \frac{π}{π} - \frac{2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.23

组合 $(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π})$ 和 $\frac{π}{π}$ 。

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) π}{π} - \frac{2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.24

在公分母上合并分子。

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) π - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.25

组合 $π$ 和 $\frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}$ 。

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{π (2 \sin (\frac{2 t}{π}))}{π}) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.26

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \cdot π \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.27

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.27.1

约去公因数。

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 π \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.27.2

用 $2 \sin (\frac{2 t}{π})$ 除以 $1$ 。

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- (2 \sin (\frac{2 t}{π}))) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.28

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.29

将 $\frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$5 (\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π} \cdot \frac{1}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}) + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.30

将 $\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}$ 乘以 $\frac{1}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$ 。

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 2.31

组合 $5$ 和 $\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$ 。

$\frac{5 ((2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 3

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5 ((2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{5 (2 (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) + \sin (\frac{2 t}{π}) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{5 (2 (- 2 \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (\sin (\frac{2 t}{π}) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 (- 4 \sin (\frac{2 t}{π})) + 5 (\sin (\frac{2 t}{π}) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (\sin (\frac{2 t}{π}) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3.3

对 $\sin (\frac{2 t}{π})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 (\sin^{1} (\frac{2 t}{π}) \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3.4

对 $\sin (\frac{2 t}{π})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 (\sin^{1} (\frac{2 t}{π}) \sin^{1} (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 {\sin (\frac{2 t}{π})}^{1 + 1}) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 \sin^{2} (\frac{2 t}{π})) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3.7

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3.8

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π}) - 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3.9

将 $\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π}) - 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π}) - 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

解题步骤 4.4

从 $- 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π})$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 (\sin^{2} (\frac{2 t}{π})) - 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

解题步骤 4.5

从 $- 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 (\sin^{2} (\frac{2 t}{π})) - 10 (\cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

解题步骤 4.6

从 $- 10 (\sin^{2} (\frac{2 t}{π})) - 10 (\cos^{2} (\frac{2 t}{π}))$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 (\sin^{2} (\frac{2 t}{π}) + \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

解题步骤 4.7

使用勾股恒等式。

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \cdot 1}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

解题步骤 4.8

从 $- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \cdot 1$ 中分解出因数 $- 10$ 。

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解题步骤 4.8.1

从 $- 20 \sin (\frac{2 t}{π})$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$\frac{- 10 (2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 10 \cdot 1}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

从 $- 10 \cdot 1$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$\frac{- 10 (2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 10 (1)}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

从 $- 10 (2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 10 (1)$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$\frac{- 10 (2 \sin (\frac{2 t}{π}) + 1)}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

解题步骤 4.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10 (2 \sin (\frac{2 t}{π}) + 1)}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

微积分学 示例

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