微积分学示例

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 1 - \cos (t)$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 - \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ 相加。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 3.5

乘。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 4

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 5

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 6

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

将 $\cos (t)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

乘以 $- \cos (t) \cos (t)$ 。

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解题步骤 9.2.1.2.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

从 $- \cos^{2} (t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.3

从 $- \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.4

从 $- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.5

重新整理项。

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.6

使用勾股恒等式。

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.3

合并项。

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解题步骤 9.3.1

约去 $\cos (t) - 1$ 和 ${(1 - \cos (t))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

从 $\cos (t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.3

从 $- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.4

重新排序项。

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.5

从 $- 1 (1 - \cos (t))$ 中分解出因数 $1 - \cos (t)$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.6

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1.6.1

从 ${(1 - \cos (t))}^{2}$ 中分解出因数 $1 - \cos (t)$ 。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

解题步骤 9.3.1.6.2

约去公因数。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

解题步骤 9.3.1.6.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

解题步骤 9.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$

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